Номер 17.13, страница 154 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.13. Наибольший угол между образующими конуса равен $90^\circ$. В конус вписан шар, радиус которого равен $R$. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности. Формулы для них: $S_{осн} = \pi r^2$ и $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ — радиус основания конуса, а $l$ — длина его образующей. Таким образом, $S_{полн} = \pi r(r+l)$.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса $l$, а основание — диаметром основания конуса $2r$. Наибольший угол между образующими — это угол при вершине этого треугольника. По условию, он равен $90^\circ$. Следовательно, осевое сечение — это прямоугольный равнобедренный треугольник.

Вписанный в конус шар в осевом сечении представляет собой окружность, вписанную в этот прямоугольный равнобедренный треугольник. Радиус этой окружности равен радиусу шара $R$.

Пусть осевое сечение — это треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $A$. Высота $AH$, проведенная из вершины $A$ к основанию $BC$, является высотой конуса $h$, а также медианой и биссектрисой. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный и прямоугольный, то углы при основании $\angle B = \angle C = (180^\circ - 90^\circ)/2 = 45^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $AHC$ угол $\angle C = 45^\circ$, значит, он также равнобедренный, и $AH=HC$. Так как $AH$ — это высота конуса $h$, а $HC$ — это радиус основания $r$, то получаем важное соотношение: $h=r$.

Из $\triangle AHC$ по теореме Пифагора находим образующую $l$:
$l^2 = AC^2 = AH^2 + HC^2 = h^2 + r^2$. Поскольку $h=r$, то $l^2 = r^2 + r^2 = 2r^2$, откуда $l = r\sqrt{2}$.

Центр $O$ вписанной окружности (и шара) лежит на высоте $AH$. Радиус вписанной окружности $R$ связан с элементами треугольника. В прямоугольном треугольнике $AHC$ центр вписанной окружности $O$ лежит на биссектрисе угла $C$. Опустим из точки $O$ перпендикуляр $OK$ на катет $HC$. $OK = R$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OKC$. Угол $\angle OCK = \angle C / 2 = 45^\circ / 2 = 22.5^\circ$.
В $\triangle OKC$: $tg(\angle OCK) = OK/KC$, то есть $tg(22.5^\circ) = R / KC$.
Центр $O$ также лежит на высоте $AH$, поэтому $OH=OK=R$. Касательная из точки $C$ к окружности имеет отрезки $CH - OH = r - R$. То есть $KC = r-R$. Тогда $tg(22.5^\circ) = R / (r-R)$.
Используем формулу $tg(\alpha/2) = \frac{1-cos\alpha}{sin\alpha}$.
$tg(22.5^\circ) = \frac{1-cos(45^\circ)}{sin(45^\circ)} = \frac{1 - \sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$.
Подставляем в уравнение: $\sqrt{2}-1 = \frac{R}{r-R}$.
$r-R = \frac{R}{\sqrt{2}-1} = \frac{R(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = R(\sqrt{2}+1)$.
Отсюда выразим радиус основания конуса $r$:
$r = R(\sqrt{2}+1) + R = R(\sqrt{2}+1+1) = R(\sqrt{2}+2)$.

Альтернативный способ найти r:
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле $R = \frac{a+b-c}{2}$, где $a, b$ - катеты, $c$ - гипотенуза. Для треугольника $ABC$ катеты равны $l$, а гипотенуза $2r$.
$R = \frac{l+l-2r}{2} = l-r$.
Мы уже нашли, что $l = r\sqrt{2}$. Подставляем:
$R = r\sqrt{2} - r = r(\sqrt{2}-1)$.
Отсюда $r = \frac{R}{\sqrt{2}-1} = R(\sqrt{2}+1)$.
(Примечание: в первом способе была допущена ошибка в определении отрезка KC. Второй способ является более простым и верным).

Итак, мы имеем:
Радиус основания конуса: $r = R(\sqrt{2}+1)$.
Образующая конуса: $l = r\sqrt{2} = R(\sqrt{2}+1)\sqrt{2} = R(2+\sqrt{2})$.

Теперь можем найти площадь полной поверхности конуса:
$S_{полн} = \pi r(r+l) = \pi [R(\sqrt{2}+1)][R(\sqrt{2}+1) + R(2+\sqrt{2})]$
$S_{полн} = \pi R^2 (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1 + 2+\sqrt{2})$
$S_{полн} = \pi R^2 (\sqrt{2}+1)(3+2\sqrt{2})$
Раскроем скобки:
$S_{полн} = \pi R^2 (3\sqrt{2} + 2(\sqrt{2})^2 + 3 + 2\sqrt{2})$
$S_{полн} = \pi R^2 (3\sqrt{2} + 4 + 3 + 2\sqrt{2})$
$S_{полн} = \pi R^2 (7 + 5\sqrt{2})$

Ответ: $S_{полн} = \pi R^2 (7 + 5\sqrt{2})$.