Страница 154 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.5. Образующая конуса равна 10 см, а радиус основания — 6 см. Найдите радиус шара, вписанного в данный конус.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, в который вписана окружность, являющаяся, в свою очередь, сечением вписанного в конус шара. Радиус этой окружности равен радиусу вписанного шара.

Пусть $l$ – образующая конуса, $R$ – радиус его основания, $H$ – высота. По условию задачи, $l = 10$ см и $R = 6$ см.

Высота конуса $H$ является катетом в прямоугольном треугольнике, где другой катет – это радиус основания $R$, а гипотенуза – образующая $l$. По теореме Пифагора:

$l^2 = H^2 + R^2$

Отсюда найдем высоту конуса $H$:

$H^2 = l^2 - R^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$

$H = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь найдем радиус $r$ вписанного шара. Рассмотрим осевое сечение – равнобедренный треугольник со сторонами $l=10$ см, $l=10$ см и основанием, равным диаметру $D = 2R = 12$ см. Высота этого треугольника равна $H=8$ см.

Радиус $r$ окружности, вписанной в треугольник, можно найти через подобие треугольников. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом основания $R$ и образующей $l$. Центр вписанного шара лежит на высоте конуса на расстоянии $r$ от основания. Расстояние от вершины конуса до центра шара равно $H-r$. Радиус шара, проведенный к точке касания на образующей, перпендикулярен ей. В результате образуются два подобных прямоугольных треугольника.

Из подобия следует отношение соответствующих сторон:

$\frac{r}{R} = \frac{H-r}{l}$

Подставим известные значения $R=6$, $H=8$ и $l=10$:

$\frac{r}{6} = \frac{8-r}{10}$

Решим полученное уравнение:

$10 \cdot r = 6 \cdot (8-r)$

$10r = 48 - 6r$

$10r + 6r = 48$

$16r = 48$

$r = \frac{48}{16} = 3$ см.

Альтернативно, можно использовать формулу для радиуса вписанной в треугольник окружности: $r = \frac{S}{p}$, где $S$ – площадь треугольника, а $p$ – его полупериметр.

Площадь осевого сечения: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H = 6 \cdot 8 = 48$ см$^2$.

Полупериметр осевого сечения: $p = \frac{l + l + 2R}{2} = \frac{10 + 10 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

Тогда радиус вписанного шара: $r = \frac{S}{p} = \frac{48}{16} = 3$ см.

Ответ: 3 см.

17.6. В конус с образующей $b$ и углом $\alpha$ при вершине осевого сечения вписан шар. Найдите радиус шара.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны образующей конуса $b$, а угол при вершине равен $\alpha$. Осевым сечением вписанного шара является его большой круг, который вписан в данный равнобедренный треугольник. Радиус этого круга, обозначим его $r$, и есть искомый радиус шара.

Пусть $S$ — вершина конуса, а $SA$ и $SB$ — образующие в осевом сечении ($SA=SB=b$, $\angle ASB = \alpha$). Пусть $O$ — центр основания конуса. Тогда $SO$ — высота конуса $H$, а также биссектриса угла $\alpha$.
В прямоугольном треугольнике $SOA$ (с прямым углом $O$):

$\angle ASO = \frac{\alpha}{2}$

Высота конуса $H = SO = SA \cdot \cos(\angle ASO) = b \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Центр вписанного шара, точка $C$, лежит на высоте конуса $SO$. Расстояние от центра шара до основания конуса равно радиусу шара, то есть $CO = r$.
Пусть $K$ — точка касания шара с образующей $SA$. Тогда $CK \perp SA$ и $CK=r$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $SCK$ (с прямым углом $K$). Угол $\angle CSK$ (он же $\angle ASO$) равен $\frac{\alpha}{2}$. В этом треугольнике гипотенуза $SC$ связана с катетом $CK=r$ соотношением:

$\sin(\angle CSK) = \frac{CK}{SC}$, то есть $\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r}{SC}$.

Отсюда находим расстояние от вершины конуса до центра шара: $SC = \frac{r}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Высота конуса $H = SO$ складывается из отрезков $SC$ и $CO$:

$H = SO = SC + CO = SC + r$

Подставим известные выражения для $SO$ и $SC$:

$b \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r}{\sin(\frac{\alpha}{2})} + r$

Решим это уравнение относительно $r$:

$b \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = r \left( \frac{1}{\sin(\frac{\alpha}{2})} + 1 \right)$

$b \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = r \left( \frac{1 + \sin(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})} \right)$

$r = \frac{b \cos(\frac{\alpha}{2}) \sin(\frac{\alpha}{2})}{1 + \sin(\frac{\alpha}{2})}$

Используя формулу синуса двойного угла $ \sin \alpha = 2 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2}) $, можно упростить числитель:

$r = \frac{b \cdot \frac{1}{2} \sin \alpha}{1 + \sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{b \sin \alpha}{2\left(1 + \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)}$

Ответ: $r = \frac{b \sin \alpha}{2\left(1 + \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)}$

17.7. В усеченный конус, образующая которого равна 8 см, вписан шар. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса находится по формуле: $S_{бок} = \pi(R+r)l$, где $R$ и $r$ — радиусы оснований, а $l$ — длина образующей.

По условию задачи, в усеченный конус вписан шар. Это возможно только в том случае, если осевое сечение конуса (равнобокая трапеция) является описанным четырехугольником. Основное свойство описанного четырехугольника заключается в том, что суммы его противоположных сторон равны.

Осевое сечение усеченного конуса — это равнобокая трапеция с основаниями, равными диаметрам оснований конуса ($2R$ и $2r$), и боковыми сторонами, равными образующей ($l$).

Применяя свойство описанного четырехугольника к этой трапеции, получаем:

$2R + 2r = l + l$

$2(R + r) = 2l$

$R + r = l$

Теперь подставим это соотношение в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi(R+r)l = \pi \cdot l \cdot l = \pi l^2$

Из условия задачи известно, что образующая $l = 8$ см. Вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi \cdot (8)^2 = 64\pi$ см$^2$.

Ответ: $64\pi$ см$^2$.

17.8. В усечённый конус, радиусы оснований которого равны 3 см и 4 см, вписан шар. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi (r_1 + r_2) l$, где $r_1$ и $r_2$ — радиусы оснований, а $l$ — длина образующей.

По условию задачи, радиусы оснований равны $r_1 = 3$ см и $r_2 = 4$ см.

Если в усеченный конус можно вписать шар, то его осевое сечение является равнобокой трапецией, в которую вписана окружность. Основания этой трапеции равны диаметрам оснований конуса ($2r_1$ и $2r_2$), а боковые стороны — образующим конуса ($l$).

Для любого четырехугольника, в который можно вписать окружность, суммы длин противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это свойство записывается так:
$2r_1 + 2r_2 = l + l$
$2(r_1 + r_2) = 2l$
Следовательно, образующая равна сумме радиусов оснований:
$l = r_1 + r_2$

Найдем длину образующей для заданных радиусов:
$l = 3 + 4 = 7$ см.

Теперь можно вычислить площадь боковой поверхности усеченного конуса:
$S_{бок} = \pi (r_1 + r_2) l = \pi (3 + 4) \cdot 7 = \pi \cdot 7 \cdot 7 = 49\pi$ см².

Ответ: $49\pi$ см².

17.9. Радиусы оснований усечённого конуса равны $r$ и $R$. Найдите радиус сферы, вписанной в данный усечённый конус.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение усеченного конуса и вписанной в него сферы. Сечением усеченного конуса является равнобокая трапеция, а сечением вписанной сферы — вписанная в эту трапецию окружность.

Пусть радиусы оснований усеченного конуса равны $r$ и $R$ (будем считать, что $R > r$). Тогда основаниями трапеции будут диаметры оснований конуса, и их длины равны $2r$ и $2R$.

Пусть искомый радиус вписанной сферы (и, соответственно, вписанной окружности в сечении) равен $r_{сф}$. Высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности, то есть $h = 2r_{сф}$.

Воспользуемся свойством описанного четырехугольника (в нашем случае — равнобокой трапеции): суммы длин противоположных сторон равны. Обозначим образующую усеченного конуса (боковую сторону трапеции) через $l$. Тогда сумма боковых сторон равна $l + l = 2l$, а сумма оснований равна $2r + 2R$.

Следовательно, $2l = 2r + 2R$, откуда $l = r + R$.

Теперь выразим образующую $l$ через высоту трапеции $h$ и радиусы оснований $r$ и $R$. Проведем высоту из вершины меньшего основания на большее основание. Получим прямоугольный треугольник, у которого:

• гипотенуза — это образующая $l$;
• один катет — это высота трапеции $h = 2r_{сф}$;
• второй катет — это разность радиусов оснований, то есть $R - r$.

По теореме Пифагора:$l^2 = h^2 + (R - r)^2$

Подставим в это уравнение ранее найденные выражения для $l$ и $h$:

$(r + R)^2 = (2r_{сф})^2 + (R - r)^2$

Раскроем скобки:

$r^2 + 2rR + R^2 = 4r_{сф}^2 + R^2 - 2rR + r^2$

Сократим одинаковые члены $r^2$ и $R^2$ в обеих частях уравнения:

$2rR = 4r_{сф}^2 - 2rR$

Перенесем $-2rR$ в левую часть:

$4rR = 4r_{сф}^2$

Разделим обе части на 4:

$r_{сф}^2 = rR$

Так как радиус — величина положительная, извлечем квадратный корень:

$r_{сф} = \sqrt{rR}$

Ответ: $ \sqrt{rR} $

17.10. Угол между образующей усечённого конуса и плоскостью большего основания равен $\alpha$. Найдите радиус шара, вписанного в данный усечённый конус, и радиусы оснований усечённого конуса, если его образующая равна $b$.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Это равнобокая трапеция, в которую вписана окружность, являющаяся осевым сечением вписанного шара. Пусть $R$ и $r$ — радиусы большего и меньшего оснований конуса, $b$ — его образующая, $H$ — высота, $r_{ш}$ — радиус вписанного шара.

Основания трапеции равны диаметрам оснований конуса, то есть $2R$ и $2r$. Боковые стороны трапеции равны образующей конуса $b$. Угол между боковой стороной и большим основанием трапеции равен углу между образующей конуса и плоскостью его большего основания, то есть $\alpha$. Высота трапеции $H$ равна диаметру вписанной окружности (и вписанного шара), следовательно, $H = 2r_{ш}$.

Радиус шара, вписанного в данный усечённый конус

Проведём высоту из вершины меньшего основания трапеции к большему основанию. Образуется прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза — это образующая $b$, один из катетов — высота конуса $H$, а прилежащий к гипотенузе острый угол равен $\alpha$.

Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике можем найти высоту $H$:

$H = b \cdot \sin(\alpha)$

Поскольку шар вписан в усечённый конус, его диаметр равен высоте конуса, то есть $H = 2r_{ш}$. Отсюда находим радиус шара:

$r_{ш} = \frac{H}{2} = \frac{b \sin(\alpha)}{2}$

Ответ: $r_{ш} = \frac{b \sin(\alpha)}{2}$

Радиусы оснований усечённого конуса

Так как в усечённый конус вписан шар, то в его осевое сечение (равнобокую трапецию) можно вписать окружность. Основное свойство описанного четырехугольника гласит, что суммы длин его противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это означает, что сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

$2R + 2r = b + b$

$2(R + r) = 2b$

$R + r = b$

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику, рассмотренному ранее. Второй катет этого треугольника равен полуразности оснований трапеции: $\frac{2R - 2r}{2} = R - r$. Выразим этот катет через образующую $b$ и угол $\alpha$:

$R - r = b \cdot \cos(\alpha)$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $R$ и $r$:

$\begin{cases} R + r = b \\ R - r = b \cos(\alpha) \end{cases}$

Чтобы найти $R$, сложим эти два уравнения:

$(R + r) + (R - r) = b + b \cos(\alpha)$

$2R = b(1 + \cos(\alpha))$

Применим формулу половинного угла $1 + \cos(\alpha) = 2 \cos^2(\frac{\alpha}{2})$:

$2R = b \cdot 2 \cos^2(\frac{\alpha}{2})$

$R = b \cos^2(\frac{\alpha}{2})$

Чтобы найти $r$, вычтем второе уравнение из первого:

$(R + r) - (R - r) = b - b \cos(\alpha)$

$2r = b(1 - \cos(\alpha))$

Применим формулу половинного угла $1 - \cos(\alpha) = 2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})$:

$2r = b \cdot 2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})$

$r = b \sin^2(\frac{\alpha}{2})$

Ответ: радиус большего основания $R = b \cos^2(\frac{\alpha}{2})$, радиус меньшего основания $r = b \sin^2(\frac{\alpha}{2})$.

17.11. Сфера радиуса $r$ вписана в конус, радиус основания которого равен $R$. Высота и образующая конуса соответственно равны $h$ и $l$. Докажите, что $r = \frac{Rh}{l+R}$.

Рассмотрим осевое сечение конуса, проходящее через его вершину и центр основания. В сечении мы получим равнобедренный треугольник, а вписанная сфера будет представлена в виде вписанной в этот треугольник окружности.

Пусть $\triangle ASB$ — осевое сечение конуса, где $S$ — вершина конуса, а $AB$ — диаметр его основания. Пусть $O$ — центр основания, тогда $SO = h$ — высота конуса, $OA = R$ — радиус основания, а $SA = l$ — образующая конуса. Треугольник $\triangle SOA$ является прямоугольным, и по теореме Пифагора $l^2 = R^2 + h^2$.

Центр вписанной сферы $O'$ лежит на высоте конуса $SO$. Радиус вписанной сферы $r$ — это радиус окружности, вписанной в $\triangle ASB$. Расстояние от центра $O'$ до основания $AB$ равно радиусу $r$, то есть $O'O = r$. Тогда расстояние от вершины конуса до центра сферы равно $SO' = SO - O'O = h - r$.

Проведем из центра $O'$ радиус $O'K$ к точке касания сферы с образующей $SA$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, следовательно, $O'K \perp SA$. Длина этого радиуса равна $r$, то есть $O'K = r$.

Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle SOA$ (угол $\angle SOA = 90^\circ$) и $\triangle SKO'$ (угол $\angle SKO' = 90^\circ$).

Эти треугольники подобны по двум углам:
1. $\angle SOA = \angle SKO' = 90^\circ$.
2. Угол $\angle ASO$ является общим для обоих треугольников.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно:
$\frac{O'K}{OA} = \frac{SO'}{SA}$

Подставим известные значения в это соотношение:
$\frac{r}{R} = \frac{h-r}{l}$

Теперь решим это уравнение относительно $r$. Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):
$r \cdot l = R \cdot (h-r)$
$rl = Rh - Rr$

Перенесем все слагаемые, содержащие $r$, в левую часть уравнения:
$rl + Rr = Rh$

Вынесем $r$ за скобки:
$r(l+R) = Rh$

Наконец, выразим $r$:
$r = \frac{Rh}{l+R}$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $r = \frac{Rh}{l+R}$.

17.12. Радиус шара, вписанного в конус, равен $r$. Образующую конуса видно из центра вписанного шара под углом $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник $PAB$, где $P$ — вершина конуса, а $AB$ — диаметр его основания. Осевое сечение вписанного шара — это окружность, вписанная в треугольник $PAB$.

Обозначим:

• $L$ — длина образующей конуса ($PA = PB = L$).
• $R$ — радиус основания конуса ($R = HA$, где $H$ — центр основания).
• $O$ — центр вписанного шара, который также является центром вписанной окружности (инцентром) в треугольнике $PAB$. Центр $O$ лежит на высоте конуса $PH$.
• $r$ — радиус вписанного шара. Расстояние от центра $O$ до основания и до образующей равно $r$. То есть $OH = r$ и перпендикуляр из $O$ к $PA$ также равен $r$.
• $\beta$ — половина угла при вершине конуса, то есть $\angle APH = \beta$.

По условию, образующую конуса видно из центра вписанного шара под углом $\alpha$. В нашем осевом сечении это означает, что угол $\angle POA = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $POA$. Поскольку $O$ является инцентром треугольника $PAB$, отрезки $PO$ и $AO$ являются биссектрисами углов $\angle APB$ и $\angle PAB$ соответственно.

Углы треугольника $PAB$:

• Угол при вершине $\angle APB = 2\beta$.
• Углы при основании $\angle PAB = \angle PBA = \frac{180^\circ - 2\beta}{2} = 90^\circ - \beta$.

Теперь найдем углы треугольника $POA$:

• $\angle POA = \alpha$ (по условию).
• $\angle APO = \frac{1}{2}\angle APB = \frac{1}{2}(2\beta) = \beta$ (так как $PO$ — биссектриса).
• $\angle PAO = \frac{1}{2}\angle PAB = \frac{90^\circ - \beta}{2} = 45^\circ - \frac{\beta}{2}$ (так как $AO$ — биссектриса).

Сумма углов в треугольнике $POA$ равна $180^\circ$:$ \angle POA + \angle APO + \angle PAO = 180^\circ $$ \alpha + \beta + \left(45^\circ - \frac{\beta}{2}\right) = 180^\circ $$ \alpha + \frac{\beta}{2} + 45^\circ = 180^\circ $$ \frac{\beta}{2} = 135^\circ - \alpha $$ \beta = 270^\circ - 2\alpha $

Площадь боковой поверхности конуса $S_{бок}$ вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi RL$. Из прямоугольного треугольника $PHA$ имеем $R = L \sin\beta$. Подставив это в формулу площади, получим:$ S_{бок} = \pi (L \sin\beta) L = \pi L^2 \sin\beta $

Теперь выразим $L$ через $r$ и $\beta$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный вершиной конуса $P$, центром шара $O$ и точкой касания $K$ шара с образующей $PA$. В этом треугольнике $OK = r$ и $\angle OPK = \beta$. Тогда гипотенуза $PO$ равна:$ PO = \frac{OK}{\sin\beta} = \frac{r}{\sin\beta} $

С другой стороны, $O$ лежит на высоте $PH$. Имеем $PH = PO + OH$. Но $OH = r$, а $PH = L\cos\beta$ из треугольника $PHA$. Значит, $PO = PH - OH = L\cos\beta - r$. Приравниваем два выражения для $PO$:$ \frac{r}{\sin\beta} = L\cos\beta - r $$ L\cos\beta = r + \frac{r}{\sin\beta} = r\left(1 + \frac{1}{\sin\beta}\right) = r\frac{\sin\beta + 1}{\sin\beta} $$ L = \frac{r(1 + \sin\beta)}{\sin\beta \cos\beta} $

Подставим найденное выражение для $L$ в формулу площади боковой поверхности:$ S_{бок} = \pi L^2 \sin\beta = \pi \left(\frac{r(1 + \sin\beta)}{\sin\beta \cos\beta}\right)^2 \sin\beta $$ S_{бок} = \pi r^2 \frac{(1 + \sin\beta)^2}{\sin^2\beta \cos^2\beta} \sin\beta = \pi r^2 \frac{(1 + \sin\beta)^2}{\sin\beta \cos^2\beta} $

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2\beta = 1 - \sin^2\beta = (1 - \sin\beta)(1 + \sin\beta)$:$ S_{бок} = \pi r^2 \frac{(1 + \sin\beta)^2}{\sin\beta (1 - \sin\beta)(1 + \sin\beta)} = \pi r^2 \frac{1 + \sin\beta}{\sin\beta(1 - \sin\beta)} $

Теперь заменим $\beta$ на выражение через $\alpha$: $\beta = 270^\circ - 2\alpha$.$ \sin\beta = \sin(270^\circ - 2\alpha) = -\cos(2\alpha) $Подставляем это в формулу для площади:$ S_{бок} = \pi r^2 \frac{1 + (-\cos(2\alpha))}{-\cos(2\alpha)(1 - (-\cos(2\alpha)))} = \pi r^2 \frac{1 - \cos(2\alpha)}{-\cos(2\alpha)(1 + \cos(2\alpha))} $

Применим формулы двойного угла: $1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2\alpha$ и $1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha$.$ S_{бок} = \pi r^2 \frac{2\sin^2\alpha}{-\cos(2\alpha) \cdot 2\cos^2\alpha} = \pi r^2 \frac{\sin^2\alpha}{-\cos(2\alpha)\cos^2\alpha} $

Это выражение можно записать через тангенс:$ S_{бок} = \pi r^2 \frac{\tan^2\alpha}{-\cos(2\alpha)} $

Ответ: $S_{бок} = \pi r^2 \frac{\tan^2\alpha}{-\cos(2\alpha)}$

17.13. Наибольший угол между образующими конуса равен $90^\circ$. В конус вписан шар, радиус которого равен $R$. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности. Формулы для них: $S_{осн} = \pi r^2$ и $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ — радиус основания конуса, а $l$ — длина его образующей. Таким образом, $S_{полн} = \pi r(r+l)$.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса $l$, а основание — диаметром основания конуса $2r$. Наибольший угол между образующими — это угол при вершине этого треугольника. По условию, он равен $90^\circ$. Следовательно, осевое сечение — это прямоугольный равнобедренный треугольник.

Вписанный в конус шар в осевом сечении представляет собой окружность, вписанную в этот прямоугольный равнобедренный треугольник. Радиус этой окружности равен радиусу шара $R$.

Пусть осевое сечение — это треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $A$. Высота $AH$, проведенная из вершины $A$ к основанию $BC$, является высотой конуса $h$, а также медианой и биссектрисой. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный и прямоугольный, то углы при основании $\angle B = \angle C = (180^\circ - 90^\circ)/2 = 45^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $AHC$ угол $\angle C = 45^\circ$, значит, он также равнобедренный, и $AH=HC$. Так как $AH$ — это высота конуса $h$, а $HC$ — это радиус основания $r$, то получаем важное соотношение: $h=r$.

Из $\triangle AHC$ по теореме Пифагора находим образующую $l$:
$l^2 = AC^2 = AH^2 + HC^2 = h^2 + r^2$. Поскольку $h=r$, то $l^2 = r^2 + r^2 = 2r^2$, откуда $l = r\sqrt{2}$.

Центр $O$ вписанной окружности (и шара) лежит на высоте $AH$. Радиус вписанной окружности $R$ связан с элементами треугольника. В прямоугольном треугольнике $AHC$ центр вписанной окружности $O$ лежит на биссектрисе угла $C$. Опустим из точки $O$ перпендикуляр $OK$ на катет $HC$. $OK = R$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OKC$. Угол $\angle OCK = \angle C / 2 = 45^\circ / 2 = 22.5^\circ$.
В $\triangle OKC$: $tg(\angle OCK) = OK/KC$, то есть $tg(22.5^\circ) = R / KC$.
Центр $O$ также лежит на высоте $AH$, поэтому $OH=OK=R$. Касательная из точки $C$ к окружности имеет отрезки $CH - OH = r - R$. То есть $KC = r-R$. Тогда $tg(22.5^\circ) = R / (r-R)$.
Используем формулу $tg(\alpha/2) = \frac{1-cos\alpha}{sin\alpha}$.
$tg(22.5^\circ) = \frac{1-cos(45^\circ)}{sin(45^\circ)} = \frac{1 - \sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$.
Подставляем в уравнение: $\sqrt{2}-1 = \frac{R}{r-R}$.
$r-R = \frac{R}{\sqrt{2}-1} = \frac{R(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = R(\sqrt{2}+1)$.
Отсюда выразим радиус основания конуса $r$:
$r = R(\sqrt{2}+1) + R = R(\sqrt{2}+1+1) = R(\sqrt{2}+2)$.

Альтернативный способ найти r:
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле $R = \frac{a+b-c}{2}$, где $a, b$ - катеты, $c$ - гипотенуза. Для треугольника $ABC$ катеты равны $l$, а гипотенуза $2r$.
$R = \frac{l+l-2r}{2} = l-r$.
Мы уже нашли, что $l = r\sqrt{2}$. Подставляем:
$R = r\sqrt{2} - r = r(\sqrt{2}-1)$.
Отсюда $r = \frac{R}{\sqrt{2}-1} = R(\sqrt{2}+1)$.
(Примечание: в первом способе была допущена ошибка в определении отрезка KC. Второй способ является более простым и верным).

Итак, мы имеем:
Радиус основания конуса: $r = R(\sqrt{2}+1)$.
Образующая конуса: $l = r\sqrt{2} = R(\sqrt{2}+1)\sqrt{2} = R(2+\sqrt{2})$.

Теперь можем найти площадь полной поверхности конуса:
$S_{полн} = \pi r(r+l) = \pi [R(\sqrt{2}+1)][R(\sqrt{2}+1) + R(2+\sqrt{2})]$
$S_{полн} = \pi R^2 (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1 + 2+\sqrt{2})$
$S_{полн} = \pi R^2 (\sqrt{2}+1)(3+2\sqrt{2})$
Раскроем скобки:
$S_{полн} = \pi R^2 (3\sqrt{2} + 2(\sqrt{2})^2 + 3 + 2\sqrt{2})$
$S_{полн} = \pi R^2 (3\sqrt{2} + 4 + 3 + 2\sqrt{2})$
$S_{полн} = \pi R^2 (7 + 5\sqrt{2})$

Ответ: $S_{полн} = \pi R^2 (7 + 5\sqrt{2})$.

17.14. В конус, образующая которого равна 15 см, а высота — 12 см, вписана сфера. Найдите длину линии, по которой сфера касается боковой поверхности конуса.

Пусть $L$ — образующая конуса, $H$ — его высота, $R$ — радиус основания. По условию дано: $L = 15$ см, $H = 12$ см.
Линия, по которой сфера касается боковой поверхности конуса, является окружностью, плоскость которой перпендикулярна оси конуса. Чтобы найти длину этой линии (окружности), необходимо найти ее радиус.

1. Найдем радиус основания конуса R
Высота конуса, его радиус и образующая образуют прямоугольный треугольник, где $L$ — гипотенуза, а $H$ и $R$ — катеты. По теореме Пифагора:
$R = \sqrt{L^2 - H^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$ см.

2. Найдем радиус вписанной сферы r
Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник с высотой $H = 12$ см, боковыми сторонами $L = 15$ см и основанием $2R = 18$ см. Сечение вписанной сферы — это окружность, вписанная в этот треугольник.
Центр вписанной сферы (точка O) лежит на высоте конуса. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом его основания $R$ и образующей $L$. Пусть $r$ — радиус вписанной сферы. Проведем радиус $r$ из центра сферы к точке касания на образующей. Этот радиус будет перпендикулярен образующей.
Образуются два подобных прямоугольных треугольника (по общему острому углу при вершине конуса):
1. Большой треугольник с катетами $H$ и $R$ и гипотенузой $L$.
2. Малый треугольник, у которого один катет — это радиус сферы $r$, а гипотенуза — это расстояние от вершины конуса до центра сферы, равное $H - r$.
Из подобия этих треугольников следует соотношение:
$\frac{r}{R} = \frac{H-r}{L}$
Подставим известные значения:
$\frac{r}{9} = \frac{12 - r}{15}$
$15r = 9(12 - r)$
$15r = 108 - 9r$
$24r = 108$
$r = \frac{108}{24} = 4.5$ см.

3. Найдем радиус r' окружности, по которой сфера касается конуса
Окружность касания является основанием меньшего конуса, подобного исходному. Вершина у них общая. Найдем образующую этого меньшего конуса $L'$. В малом прямоугольном треугольнике, рассмотренном на шаге 2, $L'$ является вторым катетом. Гипотенуза этого треугольника равна $H - r = 12 - 4.5 = 7.5$ см, а один из катетов — $r = 4.5$ см.
По теореме Пифагора:
$L' = \sqrt{(H-r)^2 - r^2} = \sqrt{7.5^2 - 4.5^2} = \sqrt{(7.5 - 4.5)(7.5 + 4.5)} = \sqrt{3 \cdot 12} = \sqrt{36} = 6$ см.
Из подобия малого и исходного конусов следует:
$\frac{r'}{R} = \frac{L'}{L}$
$\frac{r'}{9} = \frac{6}{15}$
$r' = 9 \cdot \frac{6}{15} = \frac{54}{15} = \frac{18}{5} = 3.6$ см.

4. Найдем длину линии касания C
Длина линии касания — это длина окружности с радиусом $r'$.
$C = 2 \pi r' = 2 \pi \cdot 3.6 = 7.2 \pi$ см.

Ответ: $7.2 \pi$ см.

17.15. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен $\alpha$, а радиус основания — $R$. В конус вписан шар. Найдите расстояние от вершины конуса до плоскости круга, окружность которого является линией касания шара и боковой поверхности конуса.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Сечение представляет собой равнобедренный треугольник $SAB$ (где $S$ — вершина конуса, $AB$ — диаметр основания) с вписанной в него окружностью.

Пусть $O$ — центр основания конуса, тогда $SO$ — высота конуса и ось симметрии сечения. $OA = R$ — радиус основания. Угол между образующей $SA$ и плоскостью основания — это угол $\angle SAO = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$ (с прямым углом при вершине $O$). Длина образующей конуса $L$ равна гипотенузе $SA$:

$L = SA = \frac{OA}{\cos(\angle SAO)} = \frac{R}{\cos\alpha}$.

Линия касания шара и боковой поверхности конуса представляет собой окружность. Эта окружность лежит в плоскости, перпендикулярной оси конуса $SO$. В осевом сечении точки этой окружности — это точки касания $K$ и $K'$ вписанной окружности со сторонами $SA$ и $SB$ треугольника $SAB$.

Воспользуемся свойством отрезков касательных, проведенных из одной вершины к вписанной окружности. Для вершины $A$ треугольника $SAB$ отрезки касательных — это $AK$ и $AO$ (поскольку основание $AB$ касается вписанной окружности в точке $O$). Следовательно, их длины равны:

$AK = AO = R$.

Теперь можем найти расстояние от вершины конуса $S$ до точки касания $K$, измеряемое вдоль образующей:

$SK = SA - AK = L - R = \frac{R}{\cos\alpha} - R = R\left(\frac{1}{\cos\alpha} - 1\right) = R\frac{1 - \cos\alpha}{\cos\alpha}$.

Искомое расстояние — это расстояние от вершины $S$ до плоскости, в которой лежит окружность касания. Эта плоскость перпендикулярна оси $SO$. Обозначим это расстояние $h$. В осевом сечении $h$ равно длине отрезка $SO_t$, где $O_t$ — проекция точки $K$ на ось $SO$. Таким образом, треугольник $SKO_t$ является прямоугольным.

Угол $\angle KSO_t$ в этом треугольнике равен углу $\angle ASO$ в треугольнике $SOA$. Найдем его величину:

$\angle ASO = 90^\circ - \angle SAO = 90^\circ - \alpha$.

Из прямоугольного треугольника $SKO_t$ выразим катет $SO_t$:

$h = SO_t = SK \cdot \cos(\angle KSO_t) = SK \cdot \cos(90^\circ - \alpha) = SK \cdot \sin\alpha$.

Подставим найденное ранее выражение для $SK$ в эту формулу:

$h = \left(R\frac{1 - \cos\alpha}{\cos\alpha}\right) \cdot \sin\alpha = R\frac{(1 - \cos\alpha)\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

Ответ: $R\frac{(1 - \cos\alpha)\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

17.16. В усечённый конус вписан шар, радиус которого равен $R$. Диаметр большего основания усечённого конуса видно из центра шара под углом $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi(r_1 + r_2)l$, где $r_1$ и $r_2$ — радиусы большего и меньшего оснований соответственно, а $l$ — длина образующей.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Такое сечение представляет собой равнобокую трапецию, в которую вписана окружность радиуса $R$ (большой круг вписанного шара). Высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности, то есть $h = 2R$. Основания трапеции равны диаметрам оснований конуса ($2r_1$ и $2r_2$), а боковые стороны равны образующей $l$.

Для любого описанного четырёхугольника (в данном случае, для нашей трапеции) суммы длин противоположных сторон равны. Следовательно, $2r_1 + 2r_2 = l + l$, что упрощается до $l = r_1 + r_2$.

Подставив это соотношение в формулу площади боковой поверхности, получим:$S_{бок} = \pi(r_1 + r_2) \cdot (r_1 + r_2) = \pi(r_1 + r_2)^2$.

Теперь найдём $r_1$ и $r_2$. Пусть $O$ — центр вписанного шара. По условию, диаметр большего основания виден из точки $O$ под углом $\alpha$. Рассмотрим треугольник, образованный точкой $O$ и двумя противоположными точками на окружности большего основания. Этот треугольник равнобедренный. Его высота, опущенная на диаметр, является радиусом шара $R$ и делит угол $\alpha$ пополам. Рассмотрим один из двух прямоугольных треугольников, на которые высота делит равнобедренный треугольник. Катетами этого треугольника являются радиус шара $R$ и радиус большего основания $r_1$. Угол, противолежащий катету $r_1$, равен $\alpha/2$.

Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике имеем:$\text{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r_1}{R}$, откуда $r_1 = R \cdot \text{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Чтобы найти $r_2$, воспользуемся ещё одним свойством равнобокой трапеции, в которую вписана окружность. Проведём высоту из вершины меньшего основания к большему. Образуется прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является образующая $l$, а катетами — высота трапеции $h=2R$ и отрезок, равный разности радиусов $r_1 - r_2$. По теореме Пифагора:$l^2 = h^2 + (r_1 - r_2)^2$.

Заменим $l$ на $r_1 + r_2$ и $h$ на $2R$:$(r_1 + r_2)^2 = (2R)^2 + (r_1 - r_2)^2$$r_1^2 + 2r_1r_2 + r_2^2 = 4R^2 + r_1^2 - 2r_1r_2 + r_2^2$$4r_1r_2 = 4R^2$$r_1r_2 = R^2$

Теперь выразим $r_2$:$r_2 = \frac{R^2}{r_1} = \frac{R^2}{R \cdot \text{tg}(\frac{\alpha}{2})} = R \cdot \text{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Найдём сумму радиусов $r_1 + r_2$:$r_1 + r_2 = R \cdot \text{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) + R \cdot \text{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) = R \left( \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} + \frac{\cos(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)} \right)$$r_1 + r_2 = R \left( \frac{\sin^2(\alpha/2) + \cos^2(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)} \right) = R \left( \frac{1}{\frac{1}{2}\sin\alpha} \right) = \frac{2R}{\sin\alpha}$.

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности усечённого конуса:$S_{бок} = \pi(r_1 + r_2)^2 = \pi \left(\frac{2R}{\sin\alpha}\right)^2 = \frac{4\pi R^2}{\sin^2\alpha}$.

Ответ: $\frac{4\pi R^2}{\sin^2\alpha}$

17.17. Вокруг шара описан усечённый конус, радиусы оснований которого равны 8 см и 18 см. Найдите длину линии, по которой шар касается боковой поверхности усечённого конуса.

Линия, по которой шар касается боковой поверхности усечённого конуса, является окружностью. Для нахождения её длины необходимо определить радиус этой окружности, который мы обозначим как $r_k$.

Рассмотрим осевое сечение данной геометрической фигуры. Сечением усечённого конуса является равнобокая трапеция, а сечением шара — вписанная в эту трапецию окружность. Радиусы оснований конуса даны: $r_1 = 8$ см и $r_2 = 18$ см. Основания трапеции равны диаметрам оснований конуса.

Ключевым свойством любого четырёхугольника, описанного вокруг окружности, является равенство сумм длин его противоположных сторон. Для равнобокой трапеции это означает, что сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон (образующих конуса). Пусть $l$ — длина образующей конуса. Тогда:

$2r_1 + 2r_2 = l + l = 2l$

Из этого соотношения находим длину образующей:

$l = r_1 + r_2 = 8 + 18 = 26$ см.

Теперь рассмотрим одну из образующих в осевом сечении (боковую сторону трапеции). По свойству касательных, проведённых из одной вершины к вписанной окружности, точка касания делит образующую на два отрезка. Длины этих отрезков от вершин трапеции до точки касания равны радиусам оснований конуса, то есть 8 см и 18 см.

Радиус искомой окружности касания $r_k$ — это перпендикулярное расстояние от точки касания на образующей до оси конуса. В осевом сечении этот радиус можно рассматривать как координату точки касания в системе, где ось конуса является осью ординат. Эту координату можно найти как взвешенное среднее радиусов оснований $r_1$ и $r_2$, где весами выступают длины отрезков, на которые точка касания делит образующую.

Таким образом, радиус окружности касания $r_k$ вычисляется по формуле:

$r_k = \frac{r_2 \cdot r_1 + r_1 \cdot r_2}{r_1 + r_2} = \frac{18 \cdot 8 + 8 \cdot 18}{8 + 18} = \frac{144 + 144}{26} = \frac{288}{26} = \frac{144}{13}$ см.

Длина линии касания — это длина окружности с найденным радиусом $r_k$. Вычислим её по формуле $L = 2\pi r_k$:

$L = 2\pi \cdot \frac{144}{13} = \frac{288\pi}{13}$ см.

Ответ: $\frac{288\pi}{13}$ см.