Страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.16. Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник. Плоскость, параллельная основанию конуса, проходит через центр описанной около конуса сферы. Найдите отношение площадей боковых поверхностей образовавшихся конуса и усечённого конуса.

1. Определение параметров исходного конуса.

Пусть осевым сечением конуса является равносторонний треугольник со стороной $a$. Тогда образующая конуса $l$ равна стороне этого треугольника, то есть $l=a$. Диаметр основания конуса также равен $a$, следовательно, радиус основания $R = a/2$. Высота конуса $H$ равна высоте равностороннего треугольника:

$H = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

2. Нахождение центра и радиуса описанной сферы.

Центр $O_{сф}$ сферы, описанной около конуса, лежит на его оси (высоте $H$). Радиус сферы $R_{сф}$ — это расстояние от центра $O_{сф}$ до вершины конуса и до любой точки на окружности основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом основания $R$, отрезком оси от центра сферы до основания конуса, и радиусом сферы $R_{сф}$, который является гипотенузой. Расстояние от вершины конуса до центра сферы также равно $R_{сф}$. Тогда расстояние от центра сферы до основания конуса равно $H - R_{сф}$.

По теореме Пифагора:

$R_{сф}^2 = R^2 + (H - R_{сф})^2$

Подставим известные значения $R$ и $H$:

$R_{сф}^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{2} - R_{сф})^2$

$R_{сф}^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot R_{сф} + R_{сф}^2$

$0 = a^2 - a\sqrt{3} R_{сф}$

$a\sqrt{3} R_{сф} = a^2$

$R_{сф} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

3. Определение параметров образовавшихся фигур.

Плоскость, параллельная основанию, проходит через центр сферы $O_{сф}$. Эта плоскость отсекает от исходного конуса меньший конус. Высота этого меньшего конуса $h_1$ равна расстоянию от вершины конуса до центра сферы $O_{сф}$, то есть $h_1 = R_{сф} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Меньший конус подобен исходному. Коэффициент подобия $k$ равен отношению их высот:

$k = \frac{h_1}{H} = \frac{a\sqrt{3}/3}{a\sqrt{3}/2} = \frac{2}{3}$

Площади боковых поверхностей подобных конусов относятся как квадрат коэффициента подобия. Обозначим площадь боковой поверхности исходного конуса как $S_{бок}$, а малого конуса как $S_1$.

$S_1 = k^2 \cdot S_{бок} = (\frac{2}{3})^2 \cdot S_{бок} = \frac{4}{9} S_{бок}$

Площадь боковой поверхности усечённого конуса $S_2$ равна разности площадей боковых поверхностей исходного и малого конусов:

$S_2 = S_{бок} - S_1 = S_{бок} - \frac{4}{9} S_{бок} = \frac{5}{9} S_{бок}$

4. Нахождение искомого отношения.

Требуется найти отношение площадей боковых поверхностей образовавшихся конуса (малого) и усечённого конуса.

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{4}{9} S_{бок}}{\frac{5}{9} S_{бок}} = \frac{4}{5}$

Ответ: 4/5.

16.17. Плоскость, параллельная основанию конуса, проходит через центр сферы, описанной около конуса. Площади боковых поверхностей образовавшихся конуса и усечённого конуса равны. Найдите угол между образующими в осевом сечении конуса.

Пусть $R$, $H$ и $L$ – радиус основания, высота и образующая исходного конуса соответственно. Плоскость, параллельная основанию, отсекает от него меньший конус с радиусом основания $r$, высотой $h$ и образующей $l$.

Площадь боковой поверхности малого конуса равна $S_1 = \pi r l$. Площадь боковой поверхности исходного конуса равна $S_{полн} = \pi R L$. Площадь боковой поверхности усечённого конуса, образовавшегося при сечении, равна $S_2 = S_{полн} - S_1 = \pi R L - \pi r l$. По условию задачи, площади боковых поверхностей малого конуса и усечённого конуса равны: $S_1 = S_2$.

$\pi r l = \pi R L - \pi r l$

$2 \pi r l = \pi R L$

$2rl = RL$

Так как секущая плоскость параллельна основанию, малый конус подобен исходному. Отношение их линейных размеров (коэффициент подобия $k$) постоянно:

$k = \frac{r}{R} = \frac{l}{L} = \frac{h}{H}$

Подставим $r = kR$ и $l = kL$ в равенство $2rl = RL$:

$2(kR)(kL) = RL$

$2k^2RL = RL$

$2k^2 = 1 \implies k = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Следовательно, высота малого конуса связана с высотой большого конуса соотношением $h = kH = \frac{H}{\sqrt{2}}$.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник с основанием $2R$, боковыми сторонами $L$ и высотой $H$. Сфера, описанная около конуса, в сечении даёт окружность, описанную около этого треугольника. Радиус этой окружности (и сферы) $R_{сф}$ можно найти по формуле $R_{сф} = \frac{abc}{4S_{тр}}$, где $a, b, c$ – стороны треугольника, а $S_{тр}$ – его площадь.

$R_{сф} = \frac{L \cdot L \cdot 2R}{4 \cdot (\frac{1}{2} \cdot 2R \cdot H)} = \frac{2RL^2}{4RH} = \frac{L^2}{2H}$

Центр описанной сферы лежит на оси конуса. Расстояние от вершины конуса до центра сферы равно радиусу сферы $R_{сф}$. По условию, секущая плоскость проходит через центр сферы, поэтому высота малого конуса $h$ равна расстоянию от вершины конуса до центра сферы. Таким образом, $h = R_{сф}$.

$h = \frac{L^2}{2H}$

Теперь у нас есть два выражения для высоты $h$. Приравняем их:

$\frac{H}{\sqrt{2}} = \frac{L^2}{2H}$

$2H^2 = \sqrt{2}L^2$

$\frac{H^2}{L^2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Пусть $\alpha$ – искомый угол между образующими в осевом сечении. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой $H$, радиусом $R$ и образующей $L$, угол при вершине равен $\alpha/2$. Для этого угла справедливо соотношение:

$\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{H}{L}$

Возводя в квадрат, получаем:

$\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{H^2}{L^2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Для нахождения угла $\alpha$ используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(\alpha) = 2\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - 1$.

$\cos(\alpha) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 = \sqrt{2} - 1$

Отсюда, искомый угол $\alpha = \arccos(\sqrt{2}-1)$.

Ответ: $\arccos(\sqrt{2}-1)$

16.18. В треугольник $ABC$ вписан ромб $AMFK$ так, что угол $A$ у них общий, а вершина $F$ принадлежит стороне $BC$. Найдите сторону ромба, если $AB = 10$ см, $AC = 15$ см.

Пусть сторона искомого ромба $AMFK$ равна $x$. По определению ромба, все его стороны равны, следовательно, $AM = MF = FK = KA = x$.

Согласно условию, ромб $AMFK$ вписан в треугольник $ABC$ таким образом, что угол $A$ у них общий, а вершина $F$ принадлежит стороне $BC$. Из этого следует, что вершина $M$ ромба лежит на стороне $AB$, а вершина $K$ — на стороне $AC$.

Одним из основных свойств ромба является параллельность его противоположных сторон. Значит, сторона $MF$ параллельна стороне $AK$. Так как точка $K$ лежит на стороне $AC$, то получаем, что $MF \parallel AC$.

Рассмотрим треугольники $BMF$ и $BAC$. Они подобны по двум углам:

• $\angle B$ — является общим для обоих треугольников.
• $\angle BMF = \angle BAC$ как соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых $MF$ и $AC$ секущей $AB$.

Поскольку $\triangle BMF \sim \triangle BAC$, мы можем записать отношение их соответственных сторон: $$ \frac{BM}{BA} = \frac{MF}{AC} $$

Выразим длины отрезков в этой пропорции через известные данные и переменную $x$:

• $BA = AB = 10$ см.
• $AC = 15$ см.
• $MF = x$ (так как это сторона ромба).
• $AM = x$ (также сторона ромба), тогда $BM = AB - AM = 10 - x$.

Подставим эти значения в записанное выше соотношение: $$ \frac{10 - x}{10} = \frac{x}{15} $$

Решим полученное уравнение. Используя основное свойство пропорции, получим: $$ 15 \cdot (10 - x) = 10 \cdot x $$ $$ 150 - 15x = 10x $$

Перенесем все члены, содержащие $x$, в правую часть уравнения: $$ 150 = 10x + 15x $$ $$ 150 = 25x $$

Отсюда находим $x$: $$ x = \frac{150}{25} = 6 $$

Следовательно, сторона ромба равна 6 см.

Ответ: 6 см.

16.19. Один из углов трапеции равен $30^\circ$, а боковые стороны трапеции перпендикулярны. Найдите меньшую боковую сторону трапеции, если её средняя линия равна 10 см, а одно из оснований — 8 см.

Пусть даны основания трапеции $a$ и $b$. Средняя линия трапеции $m$ вычисляется по формуле $m = \frac{a+b}{2}$.

По условию, $m = 10$ см, а одно из оснований равно 8 см. Подставим эти значения в формулу:

$10 = \frac{a+b}{2}$

Отсюда сумма оснований $a+b = 20$ см.

Если одно из оснований равно 8 см, то второе равно $20 - 8 = 12$ см. Таким образом, основания трапеции равны 8 см и 12 см.

Пусть трапеция называется ABCD, где $AD$ и $BC$ — основания, причем $AD = 12$ см и $BC = 8$ см, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. По условию, боковые стороны перпендикулярны, то есть $AB \perp CD$.

Выполним дополнительное построение: проведем через вершину C прямую CK, параллельную боковой стороне AB, до пересечения с основанием AD в точке K. Полученный четырехугольник ABCK является параллелограммом (поскольку $BC \parallel AK$ как части оснований трапеции, и $AB \parallel CK$ по построению). Следовательно, $AK = BC = 8$ см и $CK = AB$.

Длина отрезка KD на основании AD равна разности длин оснований:

$KD = AD - AK = 12 - 8 = 4$ см.

Рассмотрим треугольник KCD. Так как $CK \parallel AB$ и по условию $AB \perp CD$, то из этого следует, что $CK \perp CD$. Таким образом, треугольник KCD является прямоугольным с прямым углом $\angle KCD = 90^\circ$. Сторона KD, лежащая напротив прямого угла, является гипотенузой этого треугольника, и ее длина равна 4 см.

По условию, один из углов трапеции равен $30^\circ$. Этот угол должен быть острым, а значит, он находится при большем основании AD. Обозначим углы трапеции при большем основании как $\angle A$ и $\angle D$.

В прямоугольном треугольнике KCD сумма острых углов равна $90^\circ$: $\angle CKD + \angle D = 90^\circ$.

Поскольку $CK \parallel AB$, то $\angle CKD = \angle A$ как соответственные углы при параллельных прямых CK и AB и секущей AD. Следовательно, сумма углов при большем основании трапеции равна $\angle A + \angle D = 90^\circ$.

Так как один из углов при основании равен $30^\circ$, то другой будет равен $90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Набор длин боковых сторон будет одинаковым независимо от того, какой из углов, $\angle A$ или $\angle D$, равен $30^\circ$.

Предположим, что $\angle D = 30^\circ$. Тогда в прямоугольном треугольнике KCD с гипотенузой $KD=4$ см находим катеты:

• Катет CK (противолежащий углу D): $CK = KD \cdot \sin(\angle D) = 4 \cdot \sin(30^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ см.
• Катет CD (прилежащий к углу D): $CD = KD \cdot \cos(\angle D) = 4 \cdot \cos(30^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Поскольку $CK = AB$, то $AB = 2$ см.

Таким образом, боковые стороны трапеции равны 2 см и $2\sqrt{3}$ см.

Сравнивая длины боковых сторон, $2$ и $2\sqrt{3}$, и учитывая, что $\sqrt{3} > 1$, заключаем, что меньшая боковая сторона равна 2 см.

Ответ: 2 см.