Страница 153 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какой цилиндр называют описанным около сферы?

2. В каком случае в цилиндр можно вписать сферу?

3. Какая точка является центром сферы, вписанной в цилиндр?

4. Чему равен радиус сферы, вписанной в цилиндр?

5. Какой конус называют описанным около сферы?

6. Где расположен центр сферы, вписанной в конус?

7. Какой усечённый конус называют описанным около сферы?

8. Где расположен центр сферы, вписанной в усечённый конус?

1. Какой цилиндр называют описанным около сферы? Цилиндр называют описанным около сферы, если сфера касается обоих его оснований и каждой образующей его боковой поверхности. То есть сфера вписана в цилиндр.
Ответ: Цилиндр, у которого сфера касается обоих оснований и всех образующих боковой поверхности.

2. В каком случае в цилиндр можно вписать сферу? Сферу можно вписать в прямой круговой цилиндр только в том случае, если он является равносторонним. Равносторонний цилиндр — это цилиндр, у которого высота равна диаметру основания. Осевое сечение такого цилиндра — квадрат.
Ответ: В цилиндр можно вписать сферу, если его высота равна диаметру основания ($H=2R$).

3. Какая точка является центром сферы, вписанной в цилиндр? Центр вписанной сферы должен быть равноудален от верхнего и нижнего оснований, а также от боковой поверхности цилиндра. Этому условию удовлетворяет точка, являющаяся серединой оси цилиндра (отрезка, соединяющего центры оснований).
Ответ: Середина оси цилиндра.

4. Чему равен радиус сферы, вписанной в цилиндр? Радиус вписанной сферы равен расстоянию от ее центра (середины оси) до оснований и до боковой поверхности. Это расстояние равно половине высоты цилиндра и одновременно радиусу его основания.
Ответ: Радиус сферы равен радиусу основания цилиндра и половине его высоты ($R_{сферы} = R_{основания} = H/2$).

5. Какой конус называют описанным около сферы? Конус называют описанным около сферы, если сфера касается его основания и каждой образующей его боковой поверхности. В этом случае сфера является вписанной в конус.
Ответ: Конус, у которого сфера касается плоскости основания и всех его образующих.

6. Где расположен центр сферы, вписанной в конус? Центр вписанной сферы равноудален от основания и всех образующих конуса. Геометрическое место точек, равноудаленных от всех образующих, — это ось конуса. Таким образом, центр сферы лежит на оси (высоте) конуса. Он является точкой пересечения высоты с биссектрисой угла при основании в осевом сечении конуса.
Ответ: Центр вписанной сферы расположен на оси конуса.

7. Какой усечённый конус называют описанным около сферы? Усечённый конус называют описанным около сферы, если сфера касается обоих его оснований (верхнего и нижнего) и каждой образующей его боковой поверхности.
Ответ: Усечённый конус, у которого сфера касается обоих оснований и всех образующих.

8. Где расположен центр сферы, вписанной в усечённый конус? Центр вписанной сферы должен быть равноудален от плоскостей обоих оснований и от боковой поверхности. Эта точка лежит на оси усеченного конуса на равном расстоянии от верхнего и нижнего оснований, то есть является серединой высоты.
Ответ: Центр сферы, вписанной в усечённый конус, расположен на его оси и является серединой его высоты.

17.1. Найдите радиус шара, вписанного в цилиндр, диагональ осевого сечения которого равна 8 см.

17.1.

Пусть шар с радиусом $R$ вписан в цилиндр. Осевое сечение такой комбинации тел представляет собой круг (сечение шара), вписанный в квадрат (осевое сечение цилиндра). Сторона этого квадрата $a$ равна высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $D_{цил}$.

Поскольку шар вписан в цилиндр, его диаметр $D_{шара} = 2R$ равен стороне квадрата осевого сечения, то есть высоте цилиндра и диаметру его основания:

$a = h = D_{цил} = D_{шара} = 2R$

Диагональ осевого сечения цилиндра $d$ является диагональю этого квадрата. По условию, $d = 8$ см.

Связь между стороной квадрата $a$ и его диагональю $d$ выражается через теорему Пифагора: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, откуда $d = a\sqrt{2}$.

Подставим в это соотношение $a = 2R$:

$d = (2R)\sqrt{2}$

Теперь подставим известное значение диагонали $d = 8$ см и найдем радиус шара $R$:

$8 = 2R\sqrt{2}$

$R = \frac{8}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$R = \frac{4 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Ответ: $2\sqrt{2}$ см.

17.2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около шара, радиус которого равен $R$.

17.2.

Пусть радиус шара равен $R$.

Цилиндр описан около шара. Это означает, что шар касается верхнего и нижнего оснований цилиндра, а также его боковой поверхности.

Из условия, что шар касается оснований цилиндра, следует, что высота цилиндра $h$ равна диаметру шара. $h = 2R$.

Из условия, что шар касается боковой поверхности цилиндра, следует, что радиус основания цилиндра $r$ равен радиусу шара. $r = R$.

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ вычисляется по формуле: $S_{бок} = 2 \pi r h$.

Подставим найденные значения высоты $h$ и радиуса $r$ цилиндра в эту формулу: $S_{бок} = 2 \pi \cdot R \cdot (2R) = 4 \pi R^2$.

Ответ: $4 \pi R^2$

17.3. Образующая конуса равна диаметру его основания. Как радиус сферы, вписанной в данный конус, относится к радиусу описанной около него сферы?

Обозначим образующую конуса как $l$, радиус его основания как $r_{осн}$, а высоту как $h$. По условию задачи, образующая равна диаметру основания, то есть $l = 2r_{осн}$.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник с основанием, равным диаметру $2r_{осн}$, и боковыми сторонами, равными образующей $l$. Так как $l = 2r_{осн}$, все стороны этого треугольника равны $2r_{осн}$. Следовательно, осевое сечение является равносторонним треугольником со стороной $a = 2r_{осн}$.

Центры вписанной и описанной сфер лежат на оси конуса. Радиусы этих сфер равны радиусам вписанной и описанной окружностей для равностороннего треугольника, являющегося осевым сечением.

Нахождение радиуса вписанной сферы ($r_{вп}$)
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, находится по формуле: $r_{вп} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ Подставим в формулу значение стороны $a = 2r_{осн}$: $r_{вп} = \frac{2r_{осн}}{2\sqrt{3}} = \frac{r_{осн}}{\sqrt{3}}$

Нахождение радиуса описанной сферы ($R_{оп}$)
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, находится по формуле: $R_{оп} = \frac{a}{\sqrt{3}}$ Подставим в формулу значение стороны $a = 2r_{осн}$: $R_{оп} = \frac{2r_{осн}}{\sqrt{3}}$

Нахождение искомого отношения
Теперь найдем отношение радиуса вписанной сферы к радиусу описанной сферы: $\frac{r_{вп}}{R_{оп}} = \frac{\frac{r_{осн}}{\sqrt{3}}}{\frac{2r_{осн}}{\sqrt{3}}} = \frac{r_{осн}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2r_{осн}} = \frac{1}{2}$

Ответ: 1:2

17.4. Угол между образующей конуса и его высотой равен $45^\circ$, а расстояние от центра вписанного в конус шара до вершины конуса равно 4 см. Найдите радиус данного шара.

Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, а сечение шара — окружность, вписанную в этот треугольник.

Пусть S — вершина конуса, SO — его высота, а SA — образующая. Центр вписанного шара, обозначим его $O_ш$, лежит на оси конуса, то есть на его высоте SO.

По условию задачи, угол между образующей SA и высотой SO равен $45^\circ$. В осевом сечении этот угол соответствует углу $\angle ASO = 45^\circ$.

Также по условию, расстояние от центра вписанного шара $O_ш$ до вершины конуса S равно 4 см, то есть $SO_ш = 4$ см.

Пусть $r$ — искомый радиус вписанного шара. Проведём радиус $O_шK$ к точке касания K шара с образующей SA. По свойству касательной, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $O_шK \perp SA$, и треугольник $\triangle SO_шK$ является прямоугольным с прямым углом при вершине K.

В прямоугольном треугольнике $\triangle SO_шK$ нам известны:

• гипотенуза $SO_ш = 4$ см;
• катет $O_шK$ равен радиусу шара $r$;
• угол $\angle KSO_ш$, который совпадает с углом $\angle ASO$, равен $45^\circ$.

Используя определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике, получаем:

$\sin(\angle KSO_ш) = \frac{O_шK}{SO_ш}$

Подставляем известные значения:

$\sin(45^\circ) = \frac{r}{4}$

Отсюда выражаем $r$:

$r = 4 \cdot \sin(45^\circ)$

Зная, что $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, вычисляем значение радиуса:

$r = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Ответ: $2\sqrt{2}$ см.