Страница 155 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.18. Угол между образующей конуса и плоскостью его основания равен $ \alpha $. Радиус основания конуса равен $ R $. В конус вписана сфера, и проведена касательная плоскость к сфере, параллельная основанию конуса. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося усечённого конуса.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник с основанием $2R$, где $R$ — радиус основания конуса, и углом при основании $\alpha$. Сечением вписанной в конус сферы является окружность, вписанная в этот треугольник. Пусть её радиус равен $r$.

Центр вписанной окружности (и, соответственно, сферы) лежит на высоте конуса. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом основания конуса $R$, радиусом вписанной сферы $r$ и отрезком биссектрисы угла $\alpha$, проведённой из вершины при основании осевого сечения. В этом треугольнике катеты равны $R$ и $r$, а угол, противолежащий катету $r$, равен $\alpha/2$. Из этого следует соотношение:$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{r}{R}$Отсюда находим радиус вписанной сферы:$r = R \tan(\frac{\alpha}{2})$

Касательная плоскость к сфере, параллельная основанию конуса, отсекает от исходного конуса меньший конус и образует усечённый конус. Этот усечённый конус оказывается описанным около вписанной сферы, так как сфера касается его нижнего основания (которое является основанием исходного конуса), верхнего основания (касательная плоскость) и боковой поверхности.

Пусть $r_1$ — радиус верхнего основания усечённого конуса, а $L'$ — его образующая. Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi (R + r_1) L'$. Для усечённого конуса, описанного около сферы, справедливо важное свойство: его образующая равна сумме радиусов оснований, то есть $L' = R + r_1$. Подставив это в формулу площади, получим:$S_{бок} = \pi (R + r_1)^2$

Для вычисления площади необходимо выразить $r_1$ через известные величины $R$ и $\alpha$. Малый конус, отсечённый плоскостью, подобен исходному. Высота исходного конуса $H = R \tan(\alpha)$. Высота усечённого конуса равна диаметру вписанной сферы: $h_{fr} = 2r = 2R\tan(\frac{\alpha}{2})$. Тогда высота малого конуса равна $H_1 = H - h_{fr} = R\tan(\alpha) - 2R\tan(\frac{\alpha}{2})$. Из подобия конусов следует, что отношение радиусов их оснований равно отношению высот:$\frac{r_1}{R} = \frac{H_1}{H} = \frac{R\tan(\alpha) - 2R\tan(\frac{\alpha}{2})}{R\tan(\alpha)} = 1 - \frac{2\tan(\frac{\alpha}{2})}{\tan(\alpha)}$

Применим формулу тангенса двойного угла $\tan(\alpha) = \frac{2\tan(\frac{\alpha}{2})}{1 - \tan^2(\frac{\alpha}{2})}$:$\frac{r_1}{R} = 1 - \frac{2\tan(\frac{\alpha}{2})}{ \frac{2\tan(\frac{\alpha}{2})}{1 - \tan^2(\frac{\alpha}{2})} } = 1 - (1 - \tan^2(\frac{\alpha}{2})) = \tan^2(\frac{\alpha}{2})$Отсюда находим радиус верхнего основания: $r_1 = R \tan^2(\frac{\alpha}{2})$.

Теперь подставим найденное выражение для $r_1$ в формулу площади боковой поверхности:$S_{бок} = \pi (R + R \tan^2(\frac{\alpha}{2}))^2 = \pi R^2 (1 + \tan^2(\frac{\alpha}{2}))^2$Используя тригонометрическое тождество $1 + \tan^2(x) = \sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$, получаем окончательное выражение для площади:$S_{бок} = \pi R^2 \left(\frac{1}{\cos^2(\frac{\alpha}{2})}\right)^2 = \frac{\pi R^2}{\cos^4(\frac{\alpha}{2})}$

Ответ: $\frac{\pi R^2}{\cos^4(\frac{\alpha}{2})}$

17.19. Образующая конуса равна $l$ и составляет с высотой конуса угол, равный $\alpha$. Через две образующие конуса, угол между которыми равен $\beta$, проведена плоскость. Найдите расстояние от этой плоскости до центра сферы, вписанной в конус.

Пусть $S$ — вершина конуса, $SO'$ — его высота $H$, а $R$ — радиус основания. Образующая конуса равна $l$, а угол между образующей и высотой равен $\alpha$. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом основания и образующей, находим:
Высота конуса: $H = l \cos \alpha$.
Радиус основания конуса: $R = l \sin \alpha$.

Центр $O$ вписанной в конус сферы лежит на его оси (высоте) $SO'$. Рассмотрим осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $l$ и углом при вершине $2\alpha$. Сечение вписанной сферы является окружностью, вписанной в этот треугольник. Пусть $r$ — радиус этой окружности (и сферы). Расстояние от центра $O$ до основания конуса равно $r$, то есть $OO' = r$. Расстояние от центра $O$ до любой образующей также равно $r$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный отрезком $SO$, радиусом $r$, проведенным к точке касания на образующей, и этой образующей. Угол при вершине $S$ в этом треугольнике равен $\alpha$. Отсюда имеем соотношение: $\sin \alpha = \frac{r}{SO}$, из которого выразим расстояние от вершины конуса до центра сферы: $SO = \frac{r}{\sin \alpha}$.
Высота конуса $H$ складывается из отрезков $SO$ и $OO'$:
$H = SO + OO' = \frac{r}{\sin \alpha} + r = r \frac{1 + \sin \alpha}{\sin \alpha}$.
Приравнивая два выражения для высоты $H$, находим радиус вписанной сферы $r$:
$l \cos \alpha = r \frac{1 + \sin \alpha}{\sin \alpha} \implies r = \frac{l \sin \alpha \cos \alpha}{1 + \sin \alpha}$.
Теперь можем найти точное значение для $SO$:
$SO = \frac{r}{\sin \alpha} = \frac{l \sin \alpha \cos \alpha}{(1 + \sin \alpha)\sin \alpha} = \frac{l \cos \alpha}{1 + \sin \alpha}$.

Секущая плоскость проходит через две образующие $SP$ и $SQ$, угол между которыми равен $\beta$. Сечением является равнобедренный треугольник $SPQ$ со сторонами $SP = SQ = l$ и углом при вершине $\angle PSQ = \beta$. Проведем в этом треугольнике высоту (а также медиану и биссектрису) $SM$ к основанию $PQ$. В прямоугольном треугольнике $SPM$ угол $\angle PSM = \beta/2$, следовательно, длина высоты $SM = SP \cos(\beta/2) = l \cos(\beta/2)$.

Искомое расстояние $d$ — это длина перпендикуляра, опущенного из центра сферы $O$ на плоскость $SPQ$. Рассмотрим вспомогательную плоскость, проходящую через ось конуса $SO'$ и высоту $SM$ треугольника сечения. Эта плоскость $SO'M$ перпендикулярна хорде $PQ$ (так как $SM \perp PQ$ и $O'M \perp PQ$). Поскольку точка $O$ лежит в плоскости $SO'M$, перпендикуляр из $O$ на плоскость $SPQ$ также будет лежать в плоскости $SO'M$. Этот перпендикуляр будет опущен на линию пересечения плоскостей $SO'M$ и $SPQ$, то есть на прямую $SM$.
Таким образом, искомое расстояние $d$ равно длине высоты, опущенной из точки $O$ на сторону $SM$ в треугольнике $SO'M$.
Треугольник $SO'M$ является прямоугольным, так как высота конуса $SO'$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой $O'M$ в этой плоскости ($\angle SO'M = 90^\circ$). Найдем длины его сторон:
Катет $SO' = H = l \cos \alpha$.
Гипотенуза $SM = l \cos(\beta/2)$.
Катет $O'M$ найдем из прямоугольного треугольника $O'MP$ в плоскости основания. $O'P = R = l \sin \alpha$ (гипотенуза), $PM = l \sin(\beta/2)$. По теореме Пифагора:
$O'M = \sqrt{O'P^2 - PM^2} = \sqrt{(l \sin \alpha)^2 - (l \sin(\beta/2))^2} = l \sqrt{\sin^2 \alpha - \sin^2(\beta/2)}$.

Теперь найдем расстояние $d$. В плоскости треугольника $SO'M$ опустим перпендикуляр из точки $O$ (лежащей на катете $SO'$) на гипотенузу $SM$. Длина этого перпендикуляра $d$ равна $SO \cdot \sin(\angle OSM)$. Обозначим $\angle O'SM = \gamma$. Тогда $\angle OSM = \gamma$.
Из прямоугольного треугольника $SO'M$ находим синус угла $\gamma$:
$\sin \gamma = \frac{O'M}{SM} = \frac{l \sqrt{\sin^2 \alpha - \sin^2(\beta/2)}}{l \cos(\beta/2)} = \frac{\sqrt{\sin^2 \alpha - \sin^2(\beta/2)}}{\cos(\beta/2)}$.
Подставляя ранее найденные выражения для $SO$ и $\sin \gamma$, получаем искомое расстояние $d$:
$d = SO \cdot \sin \gamma = \left( \frac{l \cos \alpha}{1 + \sin \alpha} \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{\sin^2 \alpha - \sin^2(\beta/2)}}{\cos(\beta/2)} \right) = \frac{l \cos \alpha \sqrt{\sin^2 \alpha - \sin^2(\beta/2)}}{(1 + \sin \alpha) \cos(\beta/2)}$.
Ответ: $d = \frac{l \cos \alpha \sqrt{\sin^2 \alpha - \sin^2(\beta/2)}}{(1 + \sin \alpha) \cos(\beta/2)}$

17.20. Радиус основания конуса равен 3 см. Центры двух равных сфер радиуса $\sqrt{2}$ см принадлежат высоте конуса. Первая сфера касается основания конуса, а вторая — касается первой сферы и всех образующих конуса. Найдите высоту конуса.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса и вписанных в него сфер. Сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, а сечения сфер — два равных круга.

Обозначим данные:

• Радиус основания конуса $R = 3$ см.
• Радиус каждой из двух сфер $r = \sqrt{2}$ см.
• Высота конуса $H$ — искомая величина.

Пусть $A$ — вершина конуса, а $O$ — центр его основания. Тогда высота конуса — это отрезок $AO$. Центры сфер, обозначим их $O_1$ и $O_2$, лежат на высоте $AO$.

1. Определение положения центров сфер.

Первая сфера касается основания конуса. Это значит, что расстояние от её центра $O_1$ до основания равно её радиусу. Таким образом, $OO_1 = r = \sqrt{2}$ см.

Вторая сфера касается первой. Поскольку их центры лежат на одной прямой (высоте конуса), расстояние между ними равно сумме их радиусов: $O_1O_2 = r + r = 2r = 2\sqrt{2}$ см.

Расстояние от центра второй сферы $O_2$ до основания конуса будет суммой расстояний $OO_1$ и $O_1O_2$:
$OO_2 = OO_1 + O_1O_2 = r + 2r = 3r = 3\sqrt{2}$ см.

2. Использование условия касания второй сферы и образующих конуса.

Вторая сфера касается всех образующих конуса. В осевом сечении это означает, что окружность с центром $O_2$ и радиусом $r$ касается боковых сторон равнобедренного треугольника, которые являются образующими конуса.

Пусть $AC$ — образующая в сечении. Расстояние от центра $O_2$ до образующей $AC$ должно быть равно радиусу $r$. Опустим перпендикуляр $O_2K$ из точки $O_2$ на прямую $AC$. Тогда $K$ — точка касания, и $O_2K = r = \sqrt{2}$ см.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника в осевом сечении:

• $\triangle AOC$ с катетами $AO = H$ и $OC = R = 3$.
• $\triangle AKO_2$ с катетом $O_2K = r = \sqrt{2}$. Этот треугольник является прямоугольным, так как $\angle AKO_2 = 90^\circ$.

Треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle AKO_2$ подобны по двум углам: у них общий острый угол $\angle OAC$ и по одному прямому углу ($\angle AOC = 90^\circ$ и $\angle AKO_2 = 90^\circ$).

3. Составление и решение уравнения.

Из подобия треугольников $\triangle AOC \sim \triangle AKO_2$ следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{OC}{O_2K} = \frac{AC}{AO_2}$

Выразим длины сторон через известные и искомую величины:

• $OC = R = 3$
• $O_2K = r = \sqrt{2}$
• $AC = \sqrt{AO^2 + OC^2} = \sqrt{H^2 + 3^2} = \sqrt{H^2 + 9}$ (по теореме Пифагора для $\triangle AOC$)
• $AO_2 = AO - OO_2 = H - 3\sqrt{2}$

Подставим эти выражения в пропорцию:

$\frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{H^2 + 9}}{H - 3\sqrt{2}}$

Для решения уравнения возведем обе его части в квадрат:

$(\frac{3}{\sqrt{2}})^2 = (\frac{\sqrt{H^2 + 9}}{H - 3\sqrt{2}})^2$

$\frac{9}{2} = \frac{H^2 + 9}{(H - 3\sqrt{2})^2}$

$9(H - 3\sqrt{2})^2 = 2(H^2 + 9)$

$9(H^2 - 6\sqrt{2}H + 18) = 2H^2 + 18$

$9H^2 - 54\sqrt{2}H + 162 = 2H^2 + 18$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$7H^2 - 54\sqrt{2}H + 144 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-54\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 7 \cdot 144 = 2916 \cdot 2 - 4032 = 5832 - 4032 = 1800$

$\sqrt{D} = \sqrt{1800} = \sqrt{900 \cdot 2} = 30\sqrt{2}$

Найдем корни уравнения для $H$:

$H_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{54\sqrt{2} \pm 30\sqrt{2}}{2 \cdot 7} = \frac{54\sqrt{2} \pm 30\sqrt{2}}{14}$

Получаем два возможных решения:

$H_1 = \frac{54\sqrt{2} + 30\sqrt{2}}{14} = \frac{84\sqrt{2}}{14} = 6\sqrt{2}$

$H_2 = \frac{54\sqrt{2} - 30\sqrt{2}}{14} = \frac{24\sqrt{2}}{14} = \frac{12\sqrt{2}}{7}$

4. Проверка решений.

Высота конуса $H$ должна быть больше, чем расстояние от основания до центра второй сферы $OO_2$, так как центр сферы $O_2$ должен находиться ниже вершины конуса $A$. Мы знаем, что $OO_2 = 3\sqrt{2}$.

• Проверим $H_1 = 6\sqrt{2}$. Условие $6\sqrt{2} > 3\sqrt{2}$ выполняется, так как $6 > 3$. Это решение является геометрически возможным.
• Проверим $H_2 = \frac{12\sqrt{2}}{7}$. Условие $\frac{12\sqrt{2}}{7} > 3\sqrt{2}$ не выполняется, так как $\frac{12}{7} \approx 1.71$, что меньше 3. Это решение не подходит, так как в этом случае вершина конуса находилась бы ниже центра второй сферы.

Следовательно, единственно верным решением является $H = 6\sqrt{2}$ см.

Ответ: $6\sqrt{2}$ см.

17.21. Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник.

Внутри конуса расположены три равные сферы радиусом 1 см.

Каждая сфера касается двух других, основания конуса и образующей конуса. Найдите радиус основания конуса.

Обозначим искомый радиус основания конуса через $R$, а радиус каждой из трех сфер через $r$. По условию задачи, $r = 1$ см.

Анализ геометрии конуса

Так как осевым сечением конуса является равносторонний треугольник, то угол между образующей и основанием конуса составляет $60^\circ$, а угол между образующей и осью конуса — $30^\circ$. Высота конуса $H$ и радиус основания $R$ связаны соотношением $H = R \cdot \tan(60^\circ) = R\sqrt{3}$.

Анализ расположения сфер

Три одинаковые сферы радиусом $r=1$ см расположены внутри конуса. Каждая сфера касается основания конуса, поэтому центры всех трех сфер ($C_1, C_2, C_3$) находятся на одной высоте от основания, равной радиусу сферы, то есть на высоте $h_c = r = 1$ см.

Кроме того, каждая сфера касается двух других. Это означает, что расстояние между центрами любых двух сфер равно сумме их радиусов, то есть $2r = 2$ см. Таким образом, центры сфер $C_1, C_2, C_3$ образуют равносторонний треугольник со стороной $a = 2r = 2$ см. Этот треугольник лежит в плоскости, параллельной основанию конуса.

Нахождение расстояния от центров сфер до оси конуса

В силу симметрии, центр треугольника $C_1C_2C_3$ лежит на оси конуса. Расстояние от центра каждой сферы до оси конуса равно радиусу окружности, описанной около этого треугольника. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности $d$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставляя $a=2$ см, получаем:

$d = \frac{2}{\sqrt{3}}$ см.

Условие касания сферы и образующей конуса

Рассмотрим вертикальное сечение конуса, которое проходит через его ось и центр одной из сфер. В этом сечении конус представлен равнобедренным треугольником с углом при основании $60^\circ$, а сфера — кругом радиусом $r=1$. Центр этого круга $C$ имеет координаты $(d, r)$ или $(\frac{2}{\sqrt{3}}, 1)$, если поместить начало координат в центр основания конуса.

Образующая конуса в этой плоскости является прямой линией. Уравнение образующей, проходящей через точку $(R, 0)$ на оси абсцисс и имеющей угловой коэффициент $k = \tan(120^\circ) = -\sqrt{3}$, можно записать как $z - 0 = -\sqrt{3}(x - R)$, или в общем виде: $\sqrt{3}x + z - R\sqrt{3} = 0$.

Сфера касается образующей, следовательно, расстояние от центра сферы $C(\frac{2}{\sqrt{3}}, 1)$ до этой прямой равно радиусу сферы $r=1$. По формуле расстояния от точки до прямой:

$\frac{|\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} + 1 \cdot 1 - R\sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}} = 1$

$\frac{|2 + 1 - R\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}} = 1$

$\frac{|3 - R\sqrt{3}|}{2} = 1$

$|3 - R\sqrt{3}| = 2$

Решение уравнения и выбор правильного корня

Раскрывая модуль, получаем два возможных уравнения:

1) $3 - R\sqrt{3} = 2 \implies R\sqrt{3} = 1 \implies R = \frac{1}{\sqrt{3}}$

2) $3 - R\sqrt{3} = -2 \implies R\sqrt{3} = 5 \implies R = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$

Для того чтобы сфера полностью помещалась внутри конуса, расстояние от ее центра до оси ($d$) должно быть меньше, чем радиус конуса на высоте центра сферы ($R_1$). Радиус конуса на высоте $z=1$ можно найти из подобия треугольников: $\frac{R_1}{R} = \frac{H-1}{H} = 1 - \frac{1}{H} = 1 - \frac{1}{R\sqrt{3}}$. Отсюда $R_1 = R - \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Проверим условие $d < R_1$:

$\frac{2}{\sqrt{3}} < R - \frac{1}{\sqrt{3}}$

$R > \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.

Сравним полученные решения с этим условием.
1) $R = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Это значение не удовлетворяет условию $R > \sqrt{3}$.
2) $R = \frac{5}{\sqrt{3}}$. Так как $5/3 > 1$, то $\frac{5}{\sqrt{3}} > \sqrt{3}$. Это решение подходит.

Ответ: $\frac{5\sqrt{3}}{3}$ см.

17.22. В конус с радиусом основания, равным $R$, вписана сфера радиусом $r$. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая вписанную сферу. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью, если известно, что эта площадь принимает наибольшее значение.

Пусть $H$ – высота конуса, $L$ – его образующая. Рассмотрим осевое сечение конуса, которое представляет собой равнобедренный треугольник с основанием $2R$ и высотой $H$. Вписанная сфера в осевом сечении будет окружностью радиуса $r$, вписанной в этот треугольник. Площадь этого треугольника можно выразить двумя способами: как половину произведения основания на высоту и как произведение полупериметра на радиус вписанной окружности.

$S_{осевого} = \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot H = RH$

Полупериметр треугольника $p = \frac{2L + 2R}{2} = L + R$.

$S_{осевого} = p \cdot r = (L+R)r$

Приравнивая два выражения для площади, получаем связь между параметрами конуса и радиусом вписанной сферы:$RH = r(L+R)$

Из прямоугольного треугольника в осевом сечении имеем $L^2 = H^2 + R^2$. Выразим $L$ из предыдущего уравнения и подставим в это:$H = \frac{r(L+R)}{R} \implies H^2 = \frac{r^2(L+R)^2}{R^2}$$L^2 = \frac{r^2(L+R)^2}{R^2} + R^2$$L^2 R^2 = r^2(L^2 + 2LR + R^2) + R^4$$L^2(R^2 - r^2) - 2LRr^2 - (r^2R^2 + R^4) = 0$Это уравнение можно решить, но проще выразить $L$ через $H$ и $R$ из $RH = r(L+R)$:$rL = RH - rR \implies L = \frac{RH - rR}{r}$. Подставим в $L^2 = H^2+R^2$:$(\frac{RH - rR}{r})^2 = H^2 + R^2$$\frac{R^2(H-r)^2}{r^2} = H^2+R^2$$R^2(H^2 - 2Hr + r^2) = r^2H^2 + r^2R^2$$H^2(R^2 - r^2) - 2HRr^2 = 0$$H(H(R^2 - r^2) - 2Rr^2) = 0$. Так как $H \neq 0$:$H(R^2 - r^2) = 2Rr^2 \implies H = \frac{2Rr^2}{R^2 - r^2}$. Для существования конуса необходимо $R>r$. Также из геометрии известно, что $H>2r$.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными образующей $L$. Основанием этого треугольника является хорда окружности основания конуса. Пусть длина этой хорды равна $a$, а расстояние от центра основания до хорды равно $d$. Тогда $a = 2\sqrt{R^2-d^2}$. Высота этого треугольника-сечения, проведенная из вершины конуса, по теореме Пифагора равна $h_{сеч} = \sqrt{H^2+d^2}$.

Площадь сечения $S_{сеч}$ как функция от $d$:$S_{сеч}(d) = \frac{1}{2} a \cdot h_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{R^2-d^2} \cdot \sqrt{H^2+d^2} = \sqrt{(R^2-d^2)(H^2+d^2)}$

Нужно найти наибольшее значение этой площади. Это эквивалентно нахождению максимума функции $f(x) = (R^2-x)(H^2+x)$, где $x=d^2$ и $0 \le x \le R^2$. Функция $f(x) = -x^2 + (R^2-H^2)x + R^2H^2$ является параболой с ветвями вниз. Её вершина находится в точке $x_{верш} = -\frac{R^2-H^2}{2(-1)} = \frac{R^2-H^2}{2}$.

Условие, что плоскость пересекает вписанную сферу, выполняется для любого сечения, проходящего через вершину. Это можно доказать, найдя расстояние от центра сферы до плоскости сечения и показав, что оно всегда меньше $r$. Таким образом, дополнительное условие не накладывает ограничений на $d$.

Для нахождения максимума функции $f(x)$ на отрезке $[0, R^2]$ нужно рассмотреть положение её вершины:

1. Если $R^2-H^2 \le 0$, т.е. $R \le H$.В этом случае $x_{верш} \le 0$. На отрезке $[0, R^2]$ функция $f(x)$ монотонно убывает. Следовательно, её наибольшее значение достигается при $x=0$ (т.е. $d=0$). Это соответствует осевому сечению. Площадь в этом случае равна:$S_{max} = \sqrt{(R^2-0)(H^2+0)} = RH$. Подставляя выражение для $H$:$S_{max} = R \cdot \frac{2Rr^2}{R^2 - r^2} = \frac{2R^2r^2}{R^2 - r^2}$.

2. Если $R^2-H^2 > 0$, т.е. $R > H$.В этом случае $x_{верш} > 0$. Если $x_{верш} \le R^2$, то максимум достигается в вершине параболы при $x = x_{верш} = \frac{R^2-H^2}{2}$. Проверим $x_{верш} \le R^2$: $\frac{R^2-H^2}{2} \le R^2 \implies R^2-H^2 \le 2R^2 \implies -H^2 \le R^2$, что всегда верно. Итак, максимум достигается при $d^2 = \frac{R^2-H^2}{2}$. Наибольшая площадь сечения в этом случае:$S_{max}^2 = (R^2 - \frac{R^2-H^2}{2})(H^2 + \frac{R^2-H^2}{2}) = (\frac{R^2+H^2}{2})(\frac{R^2+H^2}{2}) = (\frac{R^2+H^2}{2})^2$$S_{max} = \frac{R^2+H^2}{2}$. Подставим выражение для $H$:$H^2 = (\frac{2Rr^2}{R^2 - r^2})^2 = \frac{4R^2r^4}{(R^2 - r^2)^2}$.$S_{max} = \frac{1}{2} \left( R^2 + \frac{4R^2r^4}{(R^2 - r^2)^2} \right) = \frac{R^2}{2} \left( 1 + \frac{4r^4}{(R^2 - r^2)^2} \right) = \frac{R^2}{2} \frac{(R^2-r^2)^2 + 4r^4}{(R^2-r^2)^2} = \frac{R^2(R^4-2R^2r^2+r^4+4r^4)}{2(R^2-r^2)^2} = \frac{R^2(R^4+2R^2r^2+5r^4)}{2(R^2-r^2)^2}$. Похоже, есть более простое выражение. Перепроверим связь $L$ и $R,r$. Из $rL = RH - Rr$ и $L=\sqrt{H^2+R^2}$:$r\sqrt{H^2+R^2}=R(H-r)$. Возводим в квадрат: $r^2(H^2+R^2)=R^2(H-r)^2$.$r^2H^2+r^2R^2=R^2(H^2-2Hr+r^2)=R^2H^2-2HR^2r+R^2r^2$.$r^2H^2=R^2H^2-2HR^2r \implies H(R^2-r^2)=2R^2r$.$H=\frac{2R^2r}{R^2-r^2}$. Подставим это в $S_{max} = \frac{R^2+H^2}{2}$:$S_{max} = \frac{1}{2}\left(R^2 + \left(\frac{2R^2r}{R^2-r^2}\right)^2\right) = \frac{1}{2}\left(R^2 + \frac{4R^4r^2}{(R^2-r^2)^2}\right) = \frac{R^2}{2}\left(1 + \frac{4R^2r^2}{(R^2-r^2)^2}\right) = \frac{R^2}{2}\frac{(R^2-r^2)^2 + 4R^2r^2}{(R^2-r^2)^2} = \frac{R^2(R^4-2R^2r^2+r^4+4R^2r^2)}{2(R^2-r^2)^2} = \frac{R^2(R^4+2R^2r^2+r^4)}{2(R^2-r^2)^2} = \frac{R^2(R^2+r^2)^2}{2(R^2-r^2)^2}$.

Итак, итоговый ответ зависит от соотношения $R$ и $H$. Условие $R \le H$ эквивалентно $R \le \frac{2R^2r}{R^2-r^2}$, что после сокращения на $R$ дает $R^2-r^2 \le 2Rr$, или $R^2-2Rr-r^2 \le 0$. Корни уравнения $R^2-2Rr-r^2=0$ равны $R = r(1 \pm \sqrt{2})$. Так как $R>r$, нас интересует корень $R=r(1+\sqrt{2})$. Неравенство $R^2-2Rr-r^2 \le 0$ выполняется для $r(1-\sqrt{2}) \le R \le r(1+\sqrt{2})$. С учетом $R>r$, получаем $r < R \le r(1+\sqrt{2})$.

Таким образом, решение разветвляется на два случая.

Ответ:Если $r < R \le r(1+\sqrt{2})$, то $S_{max} = \frac{2R^2r^2}{R^2 - r^2}$. Если $R > r(1+\sqrt{2})$, то $S_{max} = \frac{R^2(R^2+r^2)^2}{2(R^2-r^2)^2}$.