Номер 17.21, страница 155 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.21. Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник.

Внутри конуса расположены три равные сферы радиусом 1 см.

Каждая сфера касается двух других, основания конуса и образующей конуса. Найдите радиус основания конуса.

Обозначим искомый радиус основания конуса через $R$, а радиус каждой из трех сфер через $r$. По условию задачи, $r = 1$ см.

Анализ геометрии конуса

Так как осевым сечением конуса является равносторонний треугольник, то угол между образующей и основанием конуса составляет $60^\circ$, а угол между образующей и осью конуса — $30^\circ$. Высота конуса $H$ и радиус основания $R$ связаны соотношением $H = R \cdot \tan(60^\circ) = R\sqrt{3}$.

Анализ расположения сфер

Три одинаковые сферы радиусом $r=1$ см расположены внутри конуса. Каждая сфера касается основания конуса, поэтому центры всех трех сфер ($C_1, C_2, C_3$) находятся на одной высоте от основания, равной радиусу сферы, то есть на высоте $h_c = r = 1$ см.

Кроме того, каждая сфера касается двух других. Это означает, что расстояние между центрами любых двух сфер равно сумме их радиусов, то есть $2r = 2$ см. Таким образом, центры сфер $C_1, C_2, C_3$ образуют равносторонний треугольник со стороной $a = 2r = 2$ см. Этот треугольник лежит в плоскости, параллельной основанию конуса.

Нахождение расстояния от центров сфер до оси конуса

В силу симметрии, центр треугольника $C_1C_2C_3$ лежит на оси конуса. Расстояние от центра каждой сферы до оси конуса равно радиусу окружности, описанной около этого треугольника. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности $d$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставляя $a=2$ см, получаем:

$d = \frac{2}{\sqrt{3}}$ см.

Условие касания сферы и образующей конуса

Рассмотрим вертикальное сечение конуса, которое проходит через его ось и центр одной из сфер. В этом сечении конус представлен равнобедренным треугольником с углом при основании $60^\circ$, а сфера — кругом радиусом $r=1$. Центр этого круга $C$ имеет координаты $(d, r)$ или $(\frac{2}{\sqrt{3}}, 1)$, если поместить начало координат в центр основания конуса.

Образующая конуса в этой плоскости является прямой линией. Уравнение образующей, проходящей через точку $(R, 0)$ на оси абсцисс и имеющей угловой коэффициент $k = \tan(120^\circ) = -\sqrt{3}$, можно записать как $z - 0 = -\sqrt{3}(x - R)$, или в общем виде: $\sqrt{3}x + z - R\sqrt{3} = 0$.

Сфера касается образующей, следовательно, расстояние от центра сферы $C(\frac{2}{\sqrt{3}}, 1)$ до этой прямой равно радиусу сферы $r=1$. По формуле расстояния от точки до прямой:

$\frac{|\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} + 1 \cdot 1 - R\sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}} = 1$

$\frac{|2 + 1 - R\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}} = 1$

$\frac{|3 - R\sqrt{3}|}{2} = 1$

$|3 - R\sqrt{3}| = 2$

Решение уравнения и выбор правильного корня

Раскрывая модуль, получаем два возможных уравнения:

1) $3 - R\sqrt{3} = 2 \implies R\sqrt{3} = 1 \implies R = \frac{1}{\sqrt{3}}$

2) $3 - R\sqrt{3} = -2 \implies R\sqrt{3} = 5 \implies R = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$

Для того чтобы сфера полностью помещалась внутри конуса, расстояние от ее центра до оси ($d$) должно быть меньше, чем радиус конуса на высоте центра сферы ($R_1$). Радиус конуса на высоте $z=1$ можно найти из подобия треугольников: $\frac{R_1}{R} = \frac{H-1}{H} = 1 - \frac{1}{H} = 1 - \frac{1}{R\sqrt{3}}$. Отсюда $R_1 = R - \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Проверим условие $d < R_1$:

$\frac{2}{\sqrt{3}} < R - \frac{1}{\sqrt{3}}$

$R > \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.

Сравним полученные решения с этим условием.
1) $R = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Это значение не удовлетворяет условию $R > \sqrt{3}$.
2) $R = \frac{5}{\sqrt{3}}$. Так как $5/3 > 1$, то $\frac{5}{\sqrt{3}} > \sqrt{3}$. Это решение подходит.

Ответ: $\frac{5\sqrt{3}}{3}$ см.