Номер 18.2, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.2. Высота правильной треугольной призмы равна $h$, а диагональ боковой грани образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите объём призмы.

Дана правильная треугольная призма. Это означает, что в основании лежит правильный (равносторонний) треугольник, а боковые грани являются прямоугольниками, перпендикулярными плоскости основания.

Пусть сторона основания призмы равна $a$, а высота призмы, по условию, равна $h$. Объем призмы $V$ вычисляется по формуле:
$V = S_{осн} \cdot h$
где $S_{осн}$ – площадь основания.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ равна:
$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Чтобы найти объем, нам необходимо выразить сторону основания $a$ через известные величины $h$ и $\alpha$.

Рассмотрим боковую грань призмы. Это прямоугольник со сторонами $a$ (сторона основания) и $h$ (высота призмы). Диагональ этой боковой грани, сторона основания $a$ и боковое ребро $h$ образуют прямоугольный треугольник.

По условию, диагональ боковой грани образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Этот угол является углом между самой диагональю (которая является наклонной к плоскости основания) и ее проекцией на эту плоскость. Проекцией диагонали боковой грани на плоскость основания является сторона основания $a$.

Таким образом, мы имеем прямоугольный треугольник, в котором:

• один катет – это высота призмы $h$;
• второй катет – это сторона основания $a$;
• угол, противолежащий катету $h$ и прилежащий к катету $a$, равен $\alpha$.

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике следует:
$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{h}{a}$
Выразим отсюда сторону основания $a$:
$a = \frac{h}{\tan(\alpha)} = h \cot(\alpha)$

Теперь подставим найденное выражение для $a$ в формулу площади основания:
$S_{осн} = \frac{(h \cot(\alpha))^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{h^2 \cot^2(\alpha) \sqrt{3}}{4}$

Наконец, вычислим объем призмы, подставив площадь основания в формулу объема:
$V = S_{осн} \cdot h = \left( \frac{h^2 \cot^2(\alpha) \sqrt{3}}{4} \right) \cdot h = \frac{\sqrt{3} h^3 \cot^2(\alpha)}{4}$

Ответ: $V = \frac{\sqrt{3}h^3\cot^2\alpha}{4}$