Номер 17.22, страница 155 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.22. В конус с радиусом основания, равным $R$, вписана сфера радиусом $r$. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая вписанную сферу. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью, если известно, что эта площадь принимает наибольшее значение.

Пусть $H$ – высота конуса, $L$ – его образующая. Рассмотрим осевое сечение конуса, которое представляет собой равнобедренный треугольник с основанием $2R$ и высотой $H$. Вписанная сфера в осевом сечении будет окружностью радиуса $r$, вписанной в этот треугольник. Площадь этого треугольника можно выразить двумя способами: как половину произведения основания на высоту и как произведение полупериметра на радиус вписанной окружности.

$S_{осевого} = \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot H = RH$

Полупериметр треугольника $p = \frac{2L + 2R}{2} = L + R$.

$S_{осевого} = p \cdot r = (L+R)r$

Приравнивая два выражения для площади, получаем связь между параметрами конуса и радиусом вписанной сферы:$RH = r(L+R)$

Из прямоугольного треугольника в осевом сечении имеем $L^2 = H^2 + R^2$. Выразим $L$ из предыдущего уравнения и подставим в это:$H = \frac{r(L+R)}{R} \implies H^2 = \frac{r^2(L+R)^2}{R^2}$$L^2 = \frac{r^2(L+R)^2}{R^2} + R^2$$L^2 R^2 = r^2(L^2 + 2LR + R^2) + R^4$$L^2(R^2 - r^2) - 2LRr^2 - (r^2R^2 + R^4) = 0$Это уравнение можно решить, но проще выразить $L$ через $H$ и $R$ из $RH = r(L+R)$:$rL = RH - rR \implies L = \frac{RH - rR}{r}$. Подставим в $L^2 = H^2+R^2$:$(\frac{RH - rR}{r})^2 = H^2 + R^2$$\frac{R^2(H-r)^2}{r^2} = H^2+R^2$$R^2(H^2 - 2Hr + r^2) = r^2H^2 + r^2R^2$$H^2(R^2 - r^2) - 2HRr^2 = 0$$H(H(R^2 - r^2) - 2Rr^2) = 0$. Так как $H \neq 0$:$H(R^2 - r^2) = 2Rr^2 \implies H = \frac{2Rr^2}{R^2 - r^2}$. Для существования конуса необходимо $R>r$. Также из геометрии известно, что $H>2r$.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными образующей $L$. Основанием этого треугольника является хорда окружности основания конуса. Пусть длина этой хорды равна $a$, а расстояние от центра основания до хорды равно $d$. Тогда $a = 2\sqrt{R^2-d^2}$. Высота этого треугольника-сечения, проведенная из вершины конуса, по теореме Пифагора равна $h_{сеч} = \sqrt{H^2+d^2}$.

Площадь сечения $S_{сеч}$ как функция от $d$:$S_{сеч}(d) = \frac{1}{2} a \cdot h_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{R^2-d^2} \cdot \sqrt{H^2+d^2} = \sqrt{(R^2-d^2)(H^2+d^2)}$

Нужно найти наибольшее значение этой площади. Это эквивалентно нахождению максимума функции $f(x) = (R^2-x)(H^2+x)$, где $x=d^2$ и $0 \le x \le R^2$. Функция $f(x) = -x^2 + (R^2-H^2)x + R^2H^2$ является параболой с ветвями вниз. Её вершина находится в точке $x_{верш} = -\frac{R^2-H^2}{2(-1)} = \frac{R^2-H^2}{2}$.

Условие, что плоскость пересекает вписанную сферу, выполняется для любого сечения, проходящего через вершину. Это можно доказать, найдя расстояние от центра сферы до плоскости сечения и показав, что оно всегда меньше $r$. Таким образом, дополнительное условие не накладывает ограничений на $d$.

Для нахождения максимума функции $f(x)$ на отрезке $[0, R^2]$ нужно рассмотреть положение её вершины:

1. Если $R^2-H^2 \le 0$, т.е. $R \le H$.В этом случае $x_{верш} \le 0$. На отрезке $[0, R^2]$ функция $f(x)$ монотонно убывает. Следовательно, её наибольшее значение достигается при $x=0$ (т.е. $d=0$). Это соответствует осевому сечению. Площадь в этом случае равна:$S_{max} = \sqrt{(R^2-0)(H^2+0)} = RH$. Подставляя выражение для $H$:$S_{max} = R \cdot \frac{2Rr^2}{R^2 - r^2} = \frac{2R^2r^2}{R^2 - r^2}$.

2. Если $R^2-H^2 > 0$, т.е. $R > H$.В этом случае $x_{верш} > 0$. Если $x_{верш} \le R^2$, то максимум достигается в вершине параболы при $x = x_{верш} = \frac{R^2-H^2}{2}$. Проверим $x_{верш} \le R^2$: $\frac{R^2-H^2}{2} \le R^2 \implies R^2-H^2 \le 2R^2 \implies -H^2 \le R^2$, что всегда верно. Итак, максимум достигается при $d^2 = \frac{R^2-H^2}{2}$. Наибольшая площадь сечения в этом случае:$S_{max}^2 = (R^2 - \frac{R^2-H^2}{2})(H^2 + \frac{R^2-H^2}{2}) = (\frac{R^2+H^2}{2})(\frac{R^2+H^2}{2}) = (\frac{R^2+H^2}{2})^2$$S_{max} = \frac{R^2+H^2}{2}$. Подставим выражение для $H$:$H^2 = (\frac{2Rr^2}{R^2 - r^2})^2 = \frac{4R^2r^4}{(R^2 - r^2)^2}$.$S_{max} = \frac{1}{2} \left( R^2 + \frac{4R^2r^4}{(R^2 - r^2)^2} \right) = \frac{R^2}{2} \left( 1 + \frac{4r^4}{(R^2 - r^2)^2} \right) = \frac{R^2}{2} \frac{(R^2-r^2)^2 + 4r^4}{(R^2-r^2)^2} = \frac{R^2(R^4-2R^2r^2+r^4+4r^4)}{2(R^2-r^2)^2} = \frac{R^2(R^4+2R^2r^2+5r^4)}{2(R^2-r^2)^2}$. Похоже, есть более простое выражение. Перепроверим связь $L$ и $R,r$. Из $rL = RH - Rr$ и $L=\sqrt{H^2+R^2}$:$r\sqrt{H^2+R^2}=R(H-r)$. Возводим в квадрат: $r^2(H^2+R^2)=R^2(H-r)^2$.$r^2H^2+r^2R^2=R^2(H^2-2Hr+r^2)=R^2H^2-2HR^2r+R^2r^2$.$r^2H^2=R^2H^2-2HR^2r \implies H(R^2-r^2)=2R^2r$.$H=\frac{2R^2r}{R^2-r^2}$. Подставим это в $S_{max} = \frac{R^2+H^2}{2}$:$S_{max} = \frac{1}{2}\left(R^2 + \left(\frac{2R^2r}{R^2-r^2}\right)^2\right) = \frac{1}{2}\left(R^2 + \frac{4R^4r^2}{(R^2-r^2)^2}\right) = \frac{R^2}{2}\left(1 + \frac{4R^2r^2}{(R^2-r^2)^2}\right) = \frac{R^2}{2}\frac{(R^2-r^2)^2 + 4R^2r^2}{(R^2-r^2)^2} = \frac{R^2(R^4-2R^2r^2+r^4+4R^2r^2)}{2(R^2-r^2)^2} = \frac{R^2(R^4+2R^2r^2+r^4)}{2(R^2-r^2)^2} = \frac{R^2(R^2+r^2)^2}{2(R^2-r^2)^2}$.

Итак, итоговый ответ зависит от соотношения $R$ и $H$. Условие $R \le H$ эквивалентно $R \le \frac{2R^2r}{R^2-r^2}$, что после сокращения на $R$ дает $R^2-r^2 \le 2Rr$, или $R^2-2Rr-r^2 \le 0$. Корни уравнения $R^2-2Rr-r^2=0$ равны $R = r(1 \pm \sqrt{2})$. Так как $R>r$, нас интересует корень $R=r(1+\sqrt{2})$. Неравенство $R^2-2Rr-r^2 \le 0$ выполняется для $r(1-\sqrt{2}) \le R \le r(1+\sqrt{2})$. С учетом $R>r$, получаем $r < R \le r(1+\sqrt{2})$.

Таким образом, решение разветвляется на два случая.

Ответ:Если $r < R \le r(1+\sqrt{2})$, то $S_{max} = \frac{2R^2r^2}{R^2 - r^2}$. Если $R > r(1+\sqrt{2})$, то $S_{max} = \frac{R^2(R^2+r^2)^2}{2(R^2-r^2)^2}$.