Номер 17.16, страница 154 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.16. В усечённый конус вписан шар, радиус которого равен $R$. Диаметр большего основания усечённого конуса видно из центра шара под углом $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi(r_1 + r_2)l$, где $r_1$ и $r_2$ — радиусы большего и меньшего оснований соответственно, а $l$ — длина образующей.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Такое сечение представляет собой равнобокую трапецию, в которую вписана окружность радиуса $R$ (большой круг вписанного шара). Высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности, то есть $h = 2R$. Основания трапеции равны диаметрам оснований конуса ($2r_1$ и $2r_2$), а боковые стороны равны образующей $l$.

Для любого описанного четырёхугольника (в данном случае, для нашей трапеции) суммы длин противоположных сторон равны. Следовательно, $2r_1 + 2r_2 = l + l$, что упрощается до $l = r_1 + r_2$.

Подставив это соотношение в формулу площади боковой поверхности, получим:$S_{бок} = \pi(r_1 + r_2) \cdot (r_1 + r_2) = \pi(r_1 + r_2)^2$.

Теперь найдём $r_1$ и $r_2$. Пусть $O$ — центр вписанного шара. По условию, диаметр большего основания виден из точки $O$ под углом $\alpha$. Рассмотрим треугольник, образованный точкой $O$ и двумя противоположными точками на окружности большего основания. Этот треугольник равнобедренный. Его высота, опущенная на диаметр, является радиусом шара $R$ и делит угол $\alpha$ пополам. Рассмотрим один из двух прямоугольных треугольников, на которые высота делит равнобедренный треугольник. Катетами этого треугольника являются радиус шара $R$ и радиус большего основания $r_1$. Угол, противолежащий катету $r_1$, равен $\alpha/2$.

Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике имеем:$\text{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r_1}{R}$, откуда $r_1 = R \cdot \text{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Чтобы найти $r_2$, воспользуемся ещё одним свойством равнобокой трапеции, в которую вписана окружность. Проведём высоту из вершины меньшего основания к большему. Образуется прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является образующая $l$, а катетами — высота трапеции $h=2R$ и отрезок, равный разности радиусов $r_1 - r_2$. По теореме Пифагора:$l^2 = h^2 + (r_1 - r_2)^2$.

Заменим $l$ на $r_1 + r_2$ и $h$ на $2R$:$(r_1 + r_2)^2 = (2R)^2 + (r_1 - r_2)^2$$r_1^2 + 2r_1r_2 + r_2^2 = 4R^2 + r_1^2 - 2r_1r_2 + r_2^2$$4r_1r_2 = 4R^2$$r_1r_2 = R^2$

Теперь выразим $r_2$:$r_2 = \frac{R^2}{r_1} = \frac{R^2}{R \cdot \text{tg}(\frac{\alpha}{2})} = R \cdot \text{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Найдём сумму радиусов $r_1 + r_2$:$r_1 + r_2 = R \cdot \text{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) + R \cdot \text{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) = R \left( \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} + \frac{\cos(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)} \right)$$r_1 + r_2 = R \left( \frac{\sin^2(\alpha/2) + \cos^2(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)} \right) = R \left( \frac{1}{\frac{1}{2}\sin\alpha} \right) = \frac{2R}{\sin\alpha}$.

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности усечённого конуса:$S_{бок} = \pi(r_1 + r_2)^2 = \pi \left(\frac{2R}{\sin\alpha}\right)^2 = \frac{4\pi R^2}{\sin^2\alpha}$.

Ответ: $\frac{4\pi R^2}{\sin^2\alpha}$