Номер 17.10, страница 154 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.10. Угол между образующей усечённого конуса и плоскостью большего основания равен $\alpha$. Найдите радиус шара, вписанного в данный усечённый конус, и радиусы оснований усечённого конуса, если его образующая равна $b$.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Это равнобокая трапеция, в которую вписана окружность, являющаяся осевым сечением вписанного шара. Пусть $R$ и $r$ — радиусы большего и меньшего оснований конуса, $b$ — его образующая, $H$ — высота, $r_{ш}$ — радиус вписанного шара.

Основания трапеции равны диаметрам оснований конуса, то есть $2R$ и $2r$. Боковые стороны трапеции равны образующей конуса $b$. Угол между боковой стороной и большим основанием трапеции равен углу между образующей конуса и плоскостью его большего основания, то есть $\alpha$. Высота трапеции $H$ равна диаметру вписанной окружности (и вписанного шара), следовательно, $H = 2r_{ш}$.

Радиус шара, вписанного в данный усечённый конус

Проведём высоту из вершины меньшего основания трапеции к большему основанию. Образуется прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза — это образующая $b$, один из катетов — высота конуса $H$, а прилежащий к гипотенузе острый угол равен $\alpha$.

Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике можем найти высоту $H$:

$H = b \cdot \sin(\alpha)$

Поскольку шар вписан в усечённый конус, его диаметр равен высоте конуса, то есть $H = 2r_{ш}$. Отсюда находим радиус шара:

$r_{ш} = \frac{H}{2} = \frac{b \sin(\alpha)}{2}$

Ответ: $r_{ш} = \frac{b \sin(\alpha)}{2}$

Радиусы оснований усечённого конуса

Так как в усечённый конус вписан шар, то в его осевое сечение (равнобокую трапецию) можно вписать окружность. Основное свойство описанного четырехугольника гласит, что суммы длин его противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это означает, что сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

$2R + 2r = b + b$

$2(R + r) = 2b$

$R + r = b$

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику, рассмотренному ранее. Второй катет этого треугольника равен полуразности оснований трапеции: $\frac{2R - 2r}{2} = R - r$. Выразим этот катет через образующую $b$ и угол $\alpha$:

$R - r = b \cdot \cos(\alpha)$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $R$ и $r$:

$\begin{cases} R + r = b \\ R - r = b \cos(\alpha) \end{cases}$

Чтобы найти $R$, сложим эти два уравнения:

$(R + r) + (R - r) = b + b \cos(\alpha)$

$2R = b(1 + \cos(\alpha))$

Применим формулу половинного угла $1 + \cos(\alpha) = 2 \cos^2(\frac{\alpha}{2})$:

$2R = b \cdot 2 \cos^2(\frac{\alpha}{2})$

$R = b \cos^2(\frac{\alpha}{2})$

Чтобы найти $r$, вычтем второе уравнение из первого:

$(R + r) - (R - r) = b - b \cos(\alpha)$

$2r = b(1 - \cos(\alpha))$

Применим формулу половинного угла $1 - \cos(\alpha) = 2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})$:

$2r = b \cdot 2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})$

$r = b \sin^2(\frac{\alpha}{2})$

Ответ: радиус большего основания $R = b \cos^2(\frac{\alpha}{2})$, радиус меньшего основания $r = b \sin^2(\frac{\alpha}{2})$.