Номер 17.5, страница 154 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.5. Образующая конуса равна 10 см, а радиус основания — 6 см. Найдите радиус шара, вписанного в данный конус.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, в который вписана окружность, являющаяся, в свою очередь, сечением вписанного в конус шара. Радиус этой окружности равен радиусу вписанного шара.

Пусть $l$ – образующая конуса, $R$ – радиус его основания, $H$ – высота. По условию задачи, $l = 10$ см и $R = 6$ см.

Высота конуса $H$ является катетом в прямоугольном треугольнике, где другой катет – это радиус основания $R$, а гипотенуза – образующая $l$. По теореме Пифагора:

$l^2 = H^2 + R^2$

Отсюда найдем высоту конуса $H$:

$H^2 = l^2 - R^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$

$H = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь найдем радиус $r$ вписанного шара. Рассмотрим осевое сечение – равнобедренный треугольник со сторонами $l=10$ см, $l=10$ см и основанием, равным диаметру $D = 2R = 12$ см. Высота этого треугольника равна $H=8$ см.

Радиус $r$ окружности, вписанной в треугольник, можно найти через подобие треугольников. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом основания $R$ и образующей $l$. Центр вписанного шара лежит на высоте конуса на расстоянии $r$ от основания. Расстояние от вершины конуса до центра шара равно $H-r$. Радиус шара, проведенный к точке касания на образующей, перпендикулярен ей. В результате образуются два подобных прямоугольных треугольника.

Из подобия следует отношение соответствующих сторон:

$\frac{r}{R} = \frac{H-r}{l}$

Подставим известные значения $R=6$, $H=8$ и $l=10$:

$\frac{r}{6} = \frac{8-r}{10}$

Решим полученное уравнение:

$10 \cdot r = 6 \cdot (8-r)$

$10r = 48 - 6r$

$10r + 6r = 48$

$16r = 48$

$r = \frac{48}{16} = 3$ см.

Альтернативно, можно использовать формулу для радиуса вписанной в треугольник окружности: $r = \frac{S}{p}$, где $S$ – площадь треугольника, а $p$ – его полупериметр.

Площадь осевого сечения: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H = 6 \cdot 8 = 48$ см$^2$.

Полупериметр осевого сечения: $p = \frac{l + l + 2R}{2} = \frac{10 + 10 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

Тогда радиус вписанного шара: $r = \frac{S}{p} = \frac{48}{16} = 3$ см.

Ответ: 3 см.