Номер 17.6, страница 154 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.6. В конус с образующей $b$ и углом $\alpha$ при вершине осевого сечения вписан шар. Найдите радиус шара.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны образующей конуса $b$, а угол при вершине равен $\alpha$. Осевым сечением вписанного шара является его большой круг, который вписан в данный равнобедренный треугольник. Радиус этого круга, обозначим его $r$, и есть искомый радиус шара.

Пусть $S$ — вершина конуса, а $SA$ и $SB$ — образующие в осевом сечении ($SA=SB=b$, $\angle ASB = \alpha$). Пусть $O$ — центр основания конуса. Тогда $SO$ — высота конуса $H$, а также биссектриса угла $\alpha$.
В прямоугольном треугольнике $SOA$ (с прямым углом $O$):

$\angle ASO = \frac{\alpha}{2}$

Высота конуса $H = SO = SA \cdot \cos(\angle ASO) = b \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Центр вписанного шара, точка $C$, лежит на высоте конуса $SO$. Расстояние от центра шара до основания конуса равно радиусу шара, то есть $CO = r$.
Пусть $K$ — точка касания шара с образующей $SA$. Тогда $CK \perp SA$ и $CK=r$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $SCK$ (с прямым углом $K$). Угол $\angle CSK$ (он же $\angle ASO$) равен $\frac{\alpha}{2}$. В этом треугольнике гипотенуза $SC$ связана с катетом $CK=r$ соотношением:

$\sin(\angle CSK) = \frac{CK}{SC}$, то есть $\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r}{SC}$.

Отсюда находим расстояние от вершины конуса до центра шара: $SC = \frac{r}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Высота конуса $H = SO$ складывается из отрезков $SC$ и $CO$:

$H = SO = SC + CO = SC + r$

Подставим известные выражения для $SO$ и $SC$:

$b \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r}{\sin(\frac{\alpha}{2})} + r$

Решим это уравнение относительно $r$:

$b \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = r \left( \frac{1}{\sin(\frac{\alpha}{2})} + 1 \right)$

$b \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = r \left( \frac{1 + \sin(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})} \right)$

$r = \frac{b \cos(\frac{\alpha}{2}) \sin(\frac{\alpha}{2})}{1 + \sin(\frac{\alpha}{2})}$

Используя формулу синуса двойного угла $ \sin \alpha = 2 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2}) $, можно упростить числитель:

$r = \frac{b \cdot \frac{1}{2} \sin \alpha}{1 + \sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{b \sin \alpha}{2\left(1 + \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)}$

Ответ: $r = \frac{b \sin \alpha}{2\left(1 + \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)}$