Номер 17.12, страница 154 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.12. Радиус шара, вписанного в конус, равен $r$. Образующую конуса видно из центра вписанного шара под углом $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник $PAB$, где $P$ — вершина конуса, а $AB$ — диаметр его основания. Осевое сечение вписанного шара — это окружность, вписанная в треугольник $PAB$.

Обозначим:

• $L$ — длина образующей конуса ($PA = PB = L$).
• $R$ — радиус основания конуса ($R = HA$, где $H$ — центр основания).
• $O$ — центр вписанного шара, который также является центром вписанной окружности (инцентром) в треугольнике $PAB$. Центр $O$ лежит на высоте конуса $PH$.
• $r$ — радиус вписанного шара. Расстояние от центра $O$ до основания и до образующей равно $r$. То есть $OH = r$ и перпендикуляр из $O$ к $PA$ также равен $r$.
• $\beta$ — половина угла при вершине конуса, то есть $\angle APH = \beta$.

По условию, образующую конуса видно из центра вписанного шара под углом $\alpha$. В нашем осевом сечении это означает, что угол $\angle POA = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $POA$. Поскольку $O$ является инцентром треугольника $PAB$, отрезки $PO$ и $AO$ являются биссектрисами углов $\angle APB$ и $\angle PAB$ соответственно.

Углы треугольника $PAB$:

• Угол при вершине $\angle APB = 2\beta$.
• Углы при основании $\angle PAB = \angle PBA = \frac{180^\circ - 2\beta}{2} = 90^\circ - \beta$.

Теперь найдем углы треугольника $POA$:

• $\angle POA = \alpha$ (по условию).
• $\angle APO = \frac{1}{2}\angle APB = \frac{1}{2}(2\beta) = \beta$ (так как $PO$ — биссектриса).
• $\angle PAO = \frac{1}{2}\angle PAB = \frac{90^\circ - \beta}{2} = 45^\circ - \frac{\beta}{2}$ (так как $AO$ — биссектриса).

Сумма углов в треугольнике $POA$ равна $180^\circ$:$ \angle POA + \angle APO + \angle PAO = 180^\circ $$ \alpha + \beta + \left(45^\circ - \frac{\beta}{2}\right) = 180^\circ $$ \alpha + \frac{\beta}{2} + 45^\circ = 180^\circ $$ \frac{\beta}{2} = 135^\circ - \alpha $$ \beta = 270^\circ - 2\alpha $

Площадь боковой поверхности конуса $S_{бок}$ вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi RL$. Из прямоугольного треугольника $PHA$ имеем $R = L \sin\beta$. Подставив это в формулу площади, получим:$ S_{бок} = \pi (L \sin\beta) L = \pi L^2 \sin\beta $

Теперь выразим $L$ через $r$ и $\beta$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный вершиной конуса $P$, центром шара $O$ и точкой касания $K$ шара с образующей $PA$. В этом треугольнике $OK = r$ и $\angle OPK = \beta$. Тогда гипотенуза $PO$ равна:$ PO = \frac{OK}{\sin\beta} = \frac{r}{\sin\beta} $

С другой стороны, $O$ лежит на высоте $PH$. Имеем $PH = PO + OH$. Но $OH = r$, а $PH = L\cos\beta$ из треугольника $PHA$. Значит, $PO = PH - OH = L\cos\beta - r$. Приравниваем два выражения для $PO$:$ \frac{r}{\sin\beta} = L\cos\beta - r $$ L\cos\beta = r + \frac{r}{\sin\beta} = r\left(1 + \frac{1}{\sin\beta}\right) = r\frac{\sin\beta + 1}{\sin\beta} $$ L = \frac{r(1 + \sin\beta)}{\sin\beta \cos\beta} $

Подставим найденное выражение для $L$ в формулу площади боковой поверхности:$ S_{бок} = \pi L^2 \sin\beta = \pi \left(\frac{r(1 + \sin\beta)}{\sin\beta \cos\beta}\right)^2 \sin\beta $$ S_{бок} = \pi r^2 \frac{(1 + \sin\beta)^2}{\sin^2\beta \cos^2\beta} \sin\beta = \pi r^2 \frac{(1 + \sin\beta)^2}{\sin\beta \cos^2\beta} $

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2\beta = 1 - \sin^2\beta = (1 - \sin\beta)(1 + \sin\beta)$:$ S_{бок} = \pi r^2 \frac{(1 + \sin\beta)^2}{\sin\beta (1 - \sin\beta)(1 + \sin\beta)} = \pi r^2 \frac{1 + \sin\beta}{\sin\beta(1 - \sin\beta)} $

Теперь заменим $\beta$ на выражение через $\alpha$: $\beta = 270^\circ - 2\alpha$.$ \sin\beta = \sin(270^\circ - 2\alpha) = -\cos(2\alpha) $Подставляем это в формулу для площади:$ S_{бок} = \pi r^2 \frac{1 + (-\cos(2\alpha))}{-\cos(2\alpha)(1 - (-\cos(2\alpha)))} = \pi r^2 \frac{1 - \cos(2\alpha)}{-\cos(2\alpha)(1 + \cos(2\alpha))} $

Применим формулы двойного угла: $1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2\alpha$ и $1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha$.$ S_{бок} = \pi r^2 \frac{2\sin^2\alpha}{-\cos(2\alpha) \cdot 2\cos^2\alpha} = \pi r^2 \frac{\sin^2\alpha}{-\cos(2\alpha)\cos^2\alpha} $

Это выражение можно записать через тангенс:$ S_{бок} = \pi r^2 \frac{\tan^2\alpha}{-\cos(2\alpha)} $

Ответ: $S_{бок} = \pi r^2 \frac{\tan^2\alpha}{-\cos(2\alpha)}$