Номер 17.14, страница 154 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.14. В конус, образующая которого равна 15 см, а высота — 12 см, вписана сфера. Найдите длину линии, по которой сфера касается боковой поверхности конуса.

Пусть $L$ — образующая конуса, $H$ — его высота, $R$ — радиус основания. По условию дано: $L = 15$ см, $H = 12$ см.
Линия, по которой сфера касается боковой поверхности конуса, является окружностью, плоскость которой перпендикулярна оси конуса. Чтобы найти длину этой линии (окружности), необходимо найти ее радиус.

1. Найдем радиус основания конуса R
Высота конуса, его радиус и образующая образуют прямоугольный треугольник, где $L$ — гипотенуза, а $H$ и $R$ — катеты. По теореме Пифагора:
$R = \sqrt{L^2 - H^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$ см.

2. Найдем радиус вписанной сферы r
Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник с высотой $H = 12$ см, боковыми сторонами $L = 15$ см и основанием $2R = 18$ см. Сечение вписанной сферы — это окружность, вписанная в этот треугольник.
Центр вписанной сферы (точка O) лежит на высоте конуса. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом его основания $R$ и образующей $L$. Пусть $r$ — радиус вписанной сферы. Проведем радиус $r$ из центра сферы к точке касания на образующей. Этот радиус будет перпендикулярен образующей.
Образуются два подобных прямоугольных треугольника (по общему острому углу при вершине конуса):
1. Большой треугольник с катетами $H$ и $R$ и гипотенузой $L$.
2. Малый треугольник, у которого один катет — это радиус сферы $r$, а гипотенуза — это расстояние от вершины конуса до центра сферы, равное $H - r$.
Из подобия этих треугольников следует соотношение:
$\frac{r}{R} = \frac{H-r}{L}$
Подставим известные значения:
$\frac{r}{9} = \frac{12 - r}{15}$
$15r = 9(12 - r)$
$15r = 108 - 9r$
$24r = 108$
$r = \frac{108}{24} = 4.5$ см.

3. Найдем радиус r' окружности, по которой сфера касается конуса
Окружность касания является основанием меньшего конуса, подобного исходному. Вершина у них общая. Найдем образующую этого меньшего конуса $L'$. В малом прямоугольном треугольнике, рассмотренном на шаге 2, $L'$ является вторым катетом. Гипотенуза этого треугольника равна $H - r = 12 - 4.5 = 7.5$ см, а один из катетов — $r = 4.5$ см.
По теореме Пифагора:
$L' = \sqrt{(H-r)^2 - r^2} = \sqrt{7.5^2 - 4.5^2} = \sqrt{(7.5 - 4.5)(7.5 + 4.5)} = \sqrt{3 \cdot 12} = \sqrt{36} = 6$ см.
Из подобия малого и исходного конусов следует:
$\frac{r'}{R} = \frac{L'}{L}$
$\frac{r'}{9} = \frac{6}{15}$
$r' = 9 \cdot \frac{6}{15} = \frac{54}{15} = \frac{18}{5} = 3.6$ см.

4. Найдем длину линии касания C
Длина линии касания — это длина окружности с радиусом $r'$.
$C = 2 \pi r' = 2 \pi \cdot 3.6 = 7.2 \pi$ см.

Ответ: $7.2 \pi$ см.