Номер 17.20, страница 155 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.20. Радиус основания конуса равен 3 см. Центры двух равных сфер радиуса $\sqrt{2}$ см принадлежат высоте конуса. Первая сфера касается основания конуса, а вторая — касается первой сферы и всех образующих конуса. Найдите высоту конуса.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса и вписанных в него сфер. Сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, а сечения сфер — два равных круга.

Обозначим данные:

• Радиус основания конуса $R = 3$ см.
• Радиус каждой из двух сфер $r = \sqrt{2}$ см.
• Высота конуса $H$ — искомая величина.

Пусть $A$ — вершина конуса, а $O$ — центр его основания. Тогда высота конуса — это отрезок $AO$. Центры сфер, обозначим их $O_1$ и $O_2$, лежат на высоте $AO$.

1. Определение положения центров сфер.

Первая сфера касается основания конуса. Это значит, что расстояние от её центра $O_1$ до основания равно её радиусу. Таким образом, $OO_1 = r = \sqrt{2}$ см.

Вторая сфера касается первой. Поскольку их центры лежат на одной прямой (высоте конуса), расстояние между ними равно сумме их радиусов: $O_1O_2 = r + r = 2r = 2\sqrt{2}$ см.

Расстояние от центра второй сферы $O_2$ до основания конуса будет суммой расстояний $OO_1$ и $O_1O_2$:
$OO_2 = OO_1 + O_1O_2 = r + 2r = 3r = 3\sqrt{2}$ см.

2. Использование условия касания второй сферы и образующих конуса.

Вторая сфера касается всех образующих конуса. В осевом сечении это означает, что окружность с центром $O_2$ и радиусом $r$ касается боковых сторон равнобедренного треугольника, которые являются образующими конуса.

Пусть $AC$ — образующая в сечении. Расстояние от центра $O_2$ до образующей $AC$ должно быть равно радиусу $r$. Опустим перпендикуляр $O_2K$ из точки $O_2$ на прямую $AC$. Тогда $K$ — точка касания, и $O_2K = r = \sqrt{2}$ см.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника в осевом сечении:

• $\triangle AOC$ с катетами $AO = H$ и $OC = R = 3$.
• $\triangle AKO_2$ с катетом $O_2K = r = \sqrt{2}$. Этот треугольник является прямоугольным, так как $\angle AKO_2 = 90^\circ$.

Треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle AKO_2$ подобны по двум углам: у них общий острый угол $\angle OAC$ и по одному прямому углу ($\angle AOC = 90^\circ$ и $\angle AKO_2 = 90^\circ$).

3. Составление и решение уравнения.

Из подобия треугольников $\triangle AOC \sim \triangle AKO_2$ следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{OC}{O_2K} = \frac{AC}{AO_2}$

Выразим длины сторон через известные и искомую величины:

• $OC = R = 3$
• $O_2K = r = \sqrt{2}$
• $AC = \sqrt{AO^2 + OC^2} = \sqrt{H^2 + 3^2} = \sqrt{H^2 + 9}$ (по теореме Пифагора для $\triangle AOC$)
• $AO_2 = AO - OO_2 = H - 3\sqrt{2}$

Подставим эти выражения в пропорцию:

$\frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{H^2 + 9}}{H - 3\sqrt{2}}$

Для решения уравнения возведем обе его части в квадрат:

$(\frac{3}{\sqrt{2}})^2 = (\frac{\sqrt{H^2 + 9}}{H - 3\sqrt{2}})^2$

$\frac{9}{2} = \frac{H^2 + 9}{(H - 3\sqrt{2})^2}$

$9(H - 3\sqrt{2})^2 = 2(H^2 + 9)$

$9(H^2 - 6\sqrt{2}H + 18) = 2H^2 + 18$

$9H^2 - 54\sqrt{2}H + 162 = 2H^2 + 18$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$7H^2 - 54\sqrt{2}H + 144 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-54\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 7 \cdot 144 = 2916 \cdot 2 - 4032 = 5832 - 4032 = 1800$

$\sqrt{D} = \sqrt{1800} = \sqrt{900 \cdot 2} = 30\sqrt{2}$

Найдем корни уравнения для $H$:

$H_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{54\sqrt{2} \pm 30\sqrt{2}}{2 \cdot 7} = \frac{54\sqrt{2} \pm 30\sqrt{2}}{14}$

Получаем два возможных решения:

$H_1 = \frac{54\sqrt{2} + 30\sqrt{2}}{14} = \frac{84\sqrt{2}}{14} = 6\sqrt{2}$

$H_2 = \frac{54\sqrt{2} - 30\sqrt{2}}{14} = \frac{24\sqrt{2}}{14} = \frac{12\sqrt{2}}{7}$

4. Проверка решений.

Высота конуса $H$ должна быть больше, чем расстояние от основания до центра второй сферы $OO_2$, так как центр сферы $O_2$ должен находиться ниже вершины конуса $A$. Мы знаем, что $OO_2 = 3\sqrt{2}$.

• Проверим $H_1 = 6\sqrt{2}$. Условие $6\sqrt{2} > 3\sqrt{2}$ выполняется, так как $6 > 3$. Это решение является геометрически возможным.
• Проверим $H_2 = \frac{12\sqrt{2}}{7}$. Условие $\frac{12\sqrt{2}}{7} > 3\sqrt{2}$ не выполняется, так как $\frac{12}{7} \approx 1.71$, что меньше 3. Это решение не подходит, так как в этом случае вершина конуса находилась бы ниже центра второй сферы.

Следовательно, единственно верным решением является $H = 6\sqrt{2}$ см.

Ответ: $6\sqrt{2}$ см.