Номер 17.18, страница 155 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.18. Угол между образующей конуса и плоскостью его основания равен $ \alpha $. Радиус основания конуса равен $ R $. В конус вписана сфера, и проведена касательная плоскость к сфере, параллельная основанию конуса. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося усечённого конуса.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник с основанием $2R$, где $R$ — радиус основания конуса, и углом при основании $\alpha$. Сечением вписанной в конус сферы является окружность, вписанная в этот треугольник. Пусть её радиус равен $r$.

Центр вписанной окружности (и, соответственно, сферы) лежит на высоте конуса. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом основания конуса $R$, радиусом вписанной сферы $r$ и отрезком биссектрисы угла $\alpha$, проведённой из вершины при основании осевого сечения. В этом треугольнике катеты равны $R$ и $r$, а угол, противолежащий катету $r$, равен $\alpha/2$. Из этого следует соотношение:$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{r}{R}$Отсюда находим радиус вписанной сферы:$r = R \tan(\frac{\alpha}{2})$

Касательная плоскость к сфере, параллельная основанию конуса, отсекает от исходного конуса меньший конус и образует усечённый конус. Этот усечённый конус оказывается описанным около вписанной сферы, так как сфера касается его нижнего основания (которое является основанием исходного конуса), верхнего основания (касательная плоскость) и боковой поверхности.

Пусть $r_1$ — радиус верхнего основания усечённого конуса, а $L'$ — его образующая. Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi (R + r_1) L'$. Для усечённого конуса, описанного около сферы, справедливо важное свойство: его образующая равна сумме радиусов оснований, то есть $L' = R + r_1$. Подставив это в формулу площади, получим:$S_{бок} = \pi (R + r_1)^2$

Для вычисления площади необходимо выразить $r_1$ через известные величины $R$ и $\alpha$. Малый конус, отсечённый плоскостью, подобен исходному. Высота исходного конуса $H = R \tan(\alpha)$. Высота усечённого конуса равна диаметру вписанной сферы: $h_{fr} = 2r = 2R\tan(\frac{\alpha}{2})$. Тогда высота малого конуса равна $H_1 = H - h_{fr} = R\tan(\alpha) - 2R\tan(\frac{\alpha}{2})$. Из подобия конусов следует, что отношение радиусов их оснований равно отношению высот:$\frac{r_1}{R} = \frac{H_1}{H} = \frac{R\tan(\alpha) - 2R\tan(\frac{\alpha}{2})}{R\tan(\alpha)} = 1 - \frac{2\tan(\frac{\alpha}{2})}{\tan(\alpha)}$

Применим формулу тангенса двойного угла $\tan(\alpha) = \frac{2\tan(\frac{\alpha}{2})}{1 - \tan^2(\frac{\alpha}{2})}$:$\frac{r_1}{R} = 1 - \frac{2\tan(\frac{\alpha}{2})}{ \frac{2\tan(\frac{\alpha}{2})}{1 - \tan^2(\frac{\alpha}{2})} } = 1 - (1 - \tan^2(\frac{\alpha}{2})) = \tan^2(\frac{\alpha}{2})$Отсюда находим радиус верхнего основания: $r_1 = R \tan^2(\frac{\alpha}{2})$.

Теперь подставим найденное выражение для $r_1$ в формулу площади боковой поверхности:$S_{бок} = \pi (R + R \tan^2(\frac{\alpha}{2}))^2 = \pi R^2 (1 + \tan^2(\frac{\alpha}{2}))^2$Используя тригонометрическое тождество $1 + \tan^2(x) = \sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$, получаем окончательное выражение для площади:$S_{бок} = \pi R^2 \left(\frac{1}{\cos^2(\frac{\alpha}{2})}\right)^2 = \frac{\pi R^2}{\cos^4(\frac{\alpha}{2})}$

Ответ: $\frac{\pi R^2}{\cos^4(\frac{\alpha}{2})}$