Номер 17.17, страница 154 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.17. Вокруг шара описан усечённый конус, радиусы оснований которого равны 8 см и 18 см. Найдите длину линии, по которой шар касается боковой поверхности усечённого конуса.

Линия, по которой шар касается боковой поверхности усечённого конуса, является окружностью. Для нахождения её длины необходимо определить радиус этой окружности, который мы обозначим как $r_k$.

Рассмотрим осевое сечение данной геометрической фигуры. Сечением усечённого конуса является равнобокая трапеция, а сечением шара — вписанная в эту трапецию окружность. Радиусы оснований конуса даны: $r_1 = 8$ см и $r_2 = 18$ см. Основания трапеции равны диаметрам оснований конуса.

Ключевым свойством любого четырёхугольника, описанного вокруг окружности, является равенство сумм длин его противоположных сторон. Для равнобокой трапеции это означает, что сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон (образующих конуса). Пусть $l$ — длина образующей конуса. Тогда:

$2r_1 + 2r_2 = l + l = 2l$

Из этого соотношения находим длину образующей:

$l = r_1 + r_2 = 8 + 18 = 26$ см.

Теперь рассмотрим одну из образующих в осевом сечении (боковую сторону трапеции). По свойству касательных, проведённых из одной вершины к вписанной окружности, точка касания делит образующую на два отрезка. Длины этих отрезков от вершин трапеции до точки касания равны радиусам оснований конуса, то есть 8 см и 18 см.

Радиус искомой окружности касания $r_k$ — это перпендикулярное расстояние от точки касания на образующей до оси конуса. В осевом сечении этот радиус можно рассматривать как координату точки касания в системе, где ось конуса является осью ординат. Эту координату можно найти как взвешенное среднее радиусов оснований $r_1$ и $r_2$, где весами выступают длины отрезков, на которые точка касания делит образующую.

Таким образом, радиус окружности касания $r_k$ вычисляется по формуле:

$r_k = \frac{r_2 \cdot r_1 + r_1 \cdot r_2}{r_1 + r_2} = \frac{18 \cdot 8 + 8 \cdot 18}{8 + 18} = \frac{144 + 144}{26} = \frac{288}{26} = \frac{144}{13}$ см.

Длина линии касания — это длина окружности с найденным радиусом $r_k$. Вычислим её по формуле $L = 2\pi r_k$:

$L = 2\pi \cdot \frac{144}{13} = \frac{288\pi}{13}$ см.

Ответ: $\frac{288\pi}{13}$ см.