Номер 17.19, страница 155 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.19. Образующая конуса равна $l$ и составляет с высотой конуса угол, равный $\alpha$. Через две образующие конуса, угол между которыми равен $\beta$, проведена плоскость. Найдите расстояние от этой плоскости до центра сферы, вписанной в конус.

Пусть $S$ — вершина конуса, $SO'$ — его высота $H$, а $R$ — радиус основания. Образующая конуса равна $l$, а угол между образующей и высотой равен $\alpha$. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом основания и образующей, находим:
Высота конуса: $H = l \cos \alpha$.
Радиус основания конуса: $R = l \sin \alpha$.

Центр $O$ вписанной в конус сферы лежит на его оси (высоте) $SO'$. Рассмотрим осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $l$ и углом при вершине $2\alpha$. Сечение вписанной сферы является окружностью, вписанной в этот треугольник. Пусть $r$ — радиус этой окружности (и сферы). Расстояние от центра $O$ до основания конуса равно $r$, то есть $OO' = r$. Расстояние от центра $O$ до любой образующей также равно $r$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный отрезком $SO$, радиусом $r$, проведенным к точке касания на образующей, и этой образующей. Угол при вершине $S$ в этом треугольнике равен $\alpha$. Отсюда имеем соотношение: $\sin \alpha = \frac{r}{SO}$, из которого выразим расстояние от вершины конуса до центра сферы: $SO = \frac{r}{\sin \alpha}$.
Высота конуса $H$ складывается из отрезков $SO$ и $OO'$:
$H = SO + OO' = \frac{r}{\sin \alpha} + r = r \frac{1 + \sin \alpha}{\sin \alpha}$.
Приравнивая два выражения для высоты $H$, находим радиус вписанной сферы $r$:
$l \cos \alpha = r \frac{1 + \sin \alpha}{\sin \alpha} \implies r = \frac{l \sin \alpha \cos \alpha}{1 + \sin \alpha}$.
Теперь можем найти точное значение для $SO$:
$SO = \frac{r}{\sin \alpha} = \frac{l \sin \alpha \cos \alpha}{(1 + \sin \alpha)\sin \alpha} = \frac{l \cos \alpha}{1 + \sin \alpha}$.

Секущая плоскость проходит через две образующие $SP$ и $SQ$, угол между которыми равен $\beta$. Сечением является равнобедренный треугольник $SPQ$ со сторонами $SP = SQ = l$ и углом при вершине $\angle PSQ = \beta$. Проведем в этом треугольнике высоту (а также медиану и биссектрису) $SM$ к основанию $PQ$. В прямоугольном треугольнике $SPM$ угол $\angle PSM = \beta/2$, следовательно, длина высоты $SM = SP \cos(\beta/2) = l \cos(\beta/2)$.

Искомое расстояние $d$ — это длина перпендикуляра, опущенного из центра сферы $O$ на плоскость $SPQ$. Рассмотрим вспомогательную плоскость, проходящую через ось конуса $SO'$ и высоту $SM$ треугольника сечения. Эта плоскость $SO'M$ перпендикулярна хорде $PQ$ (так как $SM \perp PQ$ и $O'M \perp PQ$). Поскольку точка $O$ лежит в плоскости $SO'M$, перпендикуляр из $O$ на плоскость $SPQ$ также будет лежать в плоскости $SO'M$. Этот перпендикуляр будет опущен на линию пересечения плоскостей $SO'M$ и $SPQ$, то есть на прямую $SM$.
Таким образом, искомое расстояние $d$ равно длине высоты, опущенной из точки $O$ на сторону $SM$ в треугольнике $SO'M$.
Треугольник $SO'M$ является прямоугольным, так как высота конуса $SO'$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой $O'M$ в этой плоскости ($\angle SO'M = 90^\circ$). Найдем длины его сторон:
Катет $SO' = H = l \cos \alpha$.
Гипотенуза $SM = l \cos(\beta/2)$.
Катет $O'M$ найдем из прямоугольного треугольника $O'MP$ в плоскости основания. $O'P = R = l \sin \alpha$ (гипотенуза), $PM = l \sin(\beta/2)$. По теореме Пифагора:
$O'M = \sqrt{O'P^2 - PM^2} = \sqrt{(l \sin \alpha)^2 - (l \sin(\beta/2))^2} = l \sqrt{\sin^2 \alpha - \sin^2(\beta/2)}$.

Теперь найдем расстояние $d$. В плоскости треугольника $SO'M$ опустим перпендикуляр из точки $O$ (лежащей на катете $SO'$) на гипотенузу $SM$. Длина этого перпендикуляра $d$ равна $SO \cdot \sin(\angle OSM)$. Обозначим $\angle O'SM = \gamma$. Тогда $\angle OSM = \gamma$.
Из прямоугольного треугольника $SO'M$ находим синус угла $\gamma$:
$\sin \gamma = \frac{O'M}{SM} = \frac{l \sqrt{\sin^2 \alpha - \sin^2(\beta/2)}}{l \cos(\beta/2)} = \frac{\sqrt{\sin^2 \alpha - \sin^2(\beta/2)}}{\cos(\beta/2)}$.
Подставляя ранее найденные выражения для $SO$ и $\sin \gamma$, получаем искомое расстояние $d$:
$d = SO \cdot \sin \gamma = \left( \frac{l \cos \alpha}{1 + \sin \alpha} \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{\sin^2 \alpha - \sin^2(\beta/2)}}{\cos(\beta/2)} \right) = \frac{l \cos \alpha \sqrt{\sin^2 \alpha - \sin^2(\beta/2)}}{(1 + \sin \alpha) \cos(\beta/2)}$.
Ответ: $d = \frac{l \cos \alpha \sqrt{\sin^2 \alpha - \sin^2(\beta/2)}}{(1 + \sin \alpha) \cos(\beta/2)}$