Номер 17.9, страница 154 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.9. Радиусы оснований усечённого конуса равны $r$ и $R$. Найдите радиус сферы, вписанной в данный усечённый конус.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение усеченного конуса и вписанной в него сферы. Сечением усеченного конуса является равнобокая трапеция, а сечением вписанной сферы — вписанная в эту трапецию окружность.

Пусть радиусы оснований усеченного конуса равны $r$ и $R$ (будем считать, что $R > r$). Тогда основаниями трапеции будут диаметры оснований конуса, и их длины равны $2r$ и $2R$.

Пусть искомый радиус вписанной сферы (и, соответственно, вписанной окружности в сечении) равен $r_{сф}$. Высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности, то есть $h = 2r_{сф}$.

Воспользуемся свойством описанного четырехугольника (в нашем случае — равнобокой трапеции): суммы длин противоположных сторон равны. Обозначим образующую усеченного конуса (боковую сторону трапеции) через $l$. Тогда сумма боковых сторон равна $l + l = 2l$, а сумма оснований равна $2r + 2R$.

Следовательно, $2l = 2r + 2R$, откуда $l = r + R$.

Теперь выразим образующую $l$ через высоту трапеции $h$ и радиусы оснований $r$ и $R$. Проведем высоту из вершины меньшего основания на большее основание. Получим прямоугольный треугольник, у которого:

• гипотенуза — это образующая $l$;
• один катет — это высота трапеции $h = 2r_{сф}$;
• второй катет — это разность радиусов оснований, то есть $R - r$.

По теореме Пифагора:$l^2 = h^2 + (R - r)^2$

Подставим в это уравнение ранее найденные выражения для $l$ и $h$:

$(r + R)^2 = (2r_{сф})^2 + (R - r)^2$

Раскроем скобки:

$r^2 + 2rR + R^2 = 4r_{сф}^2 + R^2 - 2rR + r^2$

Сократим одинаковые члены $r^2$ и $R^2$ в обеих частях уравнения:

$2rR = 4r_{сф}^2 - 2rR$

Перенесем $-2rR$ в левую часть:

$4rR = 4r_{сф}^2$

Разделим обе части на 4:

$r_{сф}^2 = rR$

Так как радиус — величина положительная, извлечем квадратный корень:

$r_{сф} = \sqrt{rR}$

Ответ: $ \sqrt{rR} $