Номер 17.3, страница 153 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.3. Образующая конуса равна диаметру его основания. Как радиус сферы, вписанной в данный конус, относится к радиусу описанной около него сферы?

Обозначим образующую конуса как $l$, радиус его основания как $r_{осн}$, а высоту как $h$. По условию задачи, образующая равна диаметру основания, то есть $l = 2r_{осн}$.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник с основанием, равным диаметру $2r_{осн}$, и боковыми сторонами, равными образующей $l$. Так как $l = 2r_{осн}$, все стороны этого треугольника равны $2r_{осн}$. Следовательно, осевое сечение является равносторонним треугольником со стороной $a = 2r_{осн}$.

Центры вписанной и описанной сфер лежат на оси конуса. Радиусы этих сфер равны радиусам вписанной и описанной окружностей для равностороннего треугольника, являющегося осевым сечением.

Нахождение радиуса вписанной сферы ($r_{вп}$)
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, находится по формуле: $r_{вп} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ Подставим в формулу значение стороны $a = 2r_{осн}$: $r_{вп} = \frac{2r_{осн}}{2\sqrt{3}} = \frac{r_{осн}}{\sqrt{3}}$

Нахождение радиуса описанной сферы ($R_{оп}$)
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, находится по формуле: $R_{оп} = \frac{a}{\sqrt{3}}$ Подставим в формулу значение стороны $a = 2r_{осн}$: $R_{оп} = \frac{2r_{осн}}{\sqrt{3}}$

Нахождение искомого отношения
Теперь найдем отношение радиуса вписанной сферы к радиусу описанной сферы: $\frac{r_{вп}}{R_{оп}} = \frac{\frac{r_{осн}}{\sqrt{3}}}{\frac{2r_{осн}}{\sqrt{3}}} = \frac{r_{осн}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2r_{осн}} = \frac{1}{2}$

Ответ: 1:2