Номер 16.17, страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.17. Плоскость, параллельная основанию конуса, проходит через центр сферы, описанной около конуса. Площади боковых поверхностей образовавшихся конуса и усечённого конуса равны. Найдите угол между образующими в осевом сечении конуса.

Пусть $R$, $H$ и $L$ – радиус основания, высота и образующая исходного конуса соответственно. Плоскость, параллельная основанию, отсекает от него меньший конус с радиусом основания $r$, высотой $h$ и образующей $l$.

Площадь боковой поверхности малого конуса равна $S_1 = \pi r l$. Площадь боковой поверхности исходного конуса равна $S_{полн} = \pi R L$. Площадь боковой поверхности усечённого конуса, образовавшегося при сечении, равна $S_2 = S_{полн} - S_1 = \pi R L - \pi r l$. По условию задачи, площади боковых поверхностей малого конуса и усечённого конуса равны: $S_1 = S_2$.

$\pi r l = \pi R L - \pi r l$

$2 \pi r l = \pi R L$

$2rl = RL$

Так как секущая плоскость параллельна основанию, малый конус подобен исходному. Отношение их линейных размеров (коэффициент подобия $k$) постоянно:

$k = \frac{r}{R} = \frac{l}{L} = \frac{h}{H}$

Подставим $r = kR$ и $l = kL$ в равенство $2rl = RL$:

$2(kR)(kL) = RL$

$2k^2RL = RL$

$2k^2 = 1 \implies k = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Следовательно, высота малого конуса связана с высотой большого конуса соотношением $h = kH = \frac{H}{\sqrt{2}}$.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник с основанием $2R$, боковыми сторонами $L$ и высотой $H$. Сфера, описанная около конуса, в сечении даёт окружность, описанную около этого треугольника. Радиус этой окружности (и сферы) $R_{сф}$ можно найти по формуле $R_{сф} = \frac{abc}{4S_{тр}}$, где $a, b, c$ – стороны треугольника, а $S_{тр}$ – его площадь.

$R_{сф} = \frac{L \cdot L \cdot 2R}{4 \cdot (\frac{1}{2} \cdot 2R \cdot H)} = \frac{2RL^2}{4RH} = \frac{L^2}{2H}$

Центр описанной сферы лежит на оси конуса. Расстояние от вершины конуса до центра сферы равно радиусу сферы $R_{сф}$. По условию, секущая плоскость проходит через центр сферы, поэтому высота малого конуса $h$ равна расстоянию от вершины конуса до центра сферы. Таким образом, $h = R_{сф}$.

$h = \frac{L^2}{2H}$

Теперь у нас есть два выражения для высоты $h$. Приравняем их:

$\frac{H}{\sqrt{2}} = \frac{L^2}{2H}$

$2H^2 = \sqrt{2}L^2$

$\frac{H^2}{L^2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Пусть $\alpha$ – искомый угол между образующими в осевом сечении. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой $H$, радиусом $R$ и образующей $L$, угол при вершине равен $\alpha/2$. Для этого угла справедливо соотношение:

$\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{H}{L}$

Возводя в квадрат, получаем:

$\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{H^2}{L^2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Для нахождения угла $\alpha$ используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(\alpha) = 2\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - 1$.

$\cos(\alpha) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 = \sqrt{2} - 1$

Отсюда, искомый угол $\alpha = \arccos(\sqrt{2}-1)$.

Ответ: $\arccos(\sqrt{2}-1)$