Номер 16.13, страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.13. Радиусы оснований усечённого конуса равны 3 см и 4 см, а радиус описанного около него шара — 5 см. Найдите высоту усечённого конуса.

Пусть радиусы оснований усечённого конуса равны $r_1 = 3$ см и $r_2 = 4$ см, а радиус описанного шара $R = 5$ см. Для нахождения высоты конуса $h$ рассмотрим осевое сечение данной системы тел. Сечением шара является большой круг радиусом $R=5$ см, а сечением усечённого конуса — равнобокая трапеция, вписанная в этот круг. Основания трапеции равны диаметрам оснований конуса, то есть $2r_1 = 6$ см и $2r_2 = 8$ см. Высота этой трапеции равна высоте усечённого конуса $h$.

Пусть центр описанной окружности (и, соответственно, центр шара) — точка $O$. Ось симметрии трапеции проходит через точку $O$. Найдём расстояние от центра $O$ до каждого из оснований трапеции. Эти расстояния являются катетами в прямоугольных треугольниках, где гипотенузой является радиус шара $R$, а другим катетом — радиус соответствующего основания конуса ($r_1$ или $r_2$).

Расстояние от центра шара $O$ до плоскости меньшего основания (с радиусом $r_1=3$ см) обозначим $d_1$. По теореме Пифагора:$d_1 = \sqrt{R^2 - r_1^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ см.

Расстояние от центра шара $O$ до плоскости большего основания (с радиусом $r_2=4$ см) обозначим $d_2$. По теореме Пифагора:$d_2 = \sqrt{R^2 - r_2^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ см.

Высота усечённого конуса $h$ — это расстояние между плоскостями его оснований. Существует два возможных варианта расположения оснований относительно центра шара:

1. Центр шара находится между основаниями усечённого конуса.В этом случае высота конуса будет равна сумме расстояний от центра до каждого из оснований.$h = d_1 + d_2 = 4 + 3 = 7$ см.

2. Оба основания усечённого конуса находятся по одну сторону от центра шара.В этом случае высота конуса будет равна разности расстояний от центра до каждого из оснований.$h = |d_1 - d_2| = |4 - 3| = 1$ см.

Так как в условии задачи нет уточнений о расположении центра шара относительно оснований конуса, возможны оба случая.
Ответ: 1 см или 7 см.