Номер 16.9, страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.9. Радиус описанного около конуса шара равен $R$. Образующую конуса видно из центра этого шара под углом $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ – радиус основания конуса, а $l$ – его образующая. Наша задача — выразить $r$ и $l$ через радиус описанного шара $R$ и угол $\alpha$.

Рассмотрим осевое сечение конуса и описанного шара. Сечением является равнобедренный треугольник, вписанный в большую окружность шара. Обозначим вершину конуса как $V$, центр шара как $O$, а концы диаметра основания конуса, лежащие в плоскости сечения, как $A$ и $B$. Таким образом, $\triangle VAB$ – осевое сечение конуса, вписанное в окружность радиуса $R$ с центром $O$.

По условию, образующую конуса ($VA$ или $VB$) видно из центра шара $O$ под углом $\alpha$. Это означает, что в равнобедренном треугольнике $\triangle VOA$ (где $OV = OA = R$) угол при вершине $O$ равен $\angle VOA = \alpha$. Сторона $VA$ этого треугольника является образующей конуса $l$.

Найдем длину образующей $l$ из треугольника $\triangle VOA$. По теореме косинусов:

$l^2 = VA^2 = OV^2 + OA^2 - 2 \cdot OV \cdot OA \cdot \cos(\angle VOA)$

$l^2 = R^2 + R^2 - 2R^2\cos\alpha = 2R^2(1 - \cos\alpha)$

Применяя формулу половинного угла $1 - \cos\alpha = 2\sin^2(\alpha/2)$, получаем:

$l^2 = 2R^2 \cdot 2\sin^2(\alpha/2) = 4R^2\sin^2(\alpha/2)$

Отсюда $l = 2R\sin(\alpha/2)$.

Теперь найдем радиус основания конуса $r$. Рассмотрим треугольник $\triangle VAB$, который вписан в окружность радиуса $R$. По теореме о вписанном угле, угол, опирающийся на хорду $VA$, равен половине центрального угла, стягивающего ту же дугу. То есть, $\angle VBA = \frac{1}{2}\angle VOA = \alpha/2$. Аналогично, $\angle VAB = \alpha/2$.

Тогда угол при вершине $V$ в треугольнике $\triangle VAB$ равен:

$\angle AVB = 180^\circ - (\angle VAB + \angle VBA) = 180^\circ - (\alpha/2 + \alpha/2) = 180^\circ - \alpha$.

Применим следствие из теоремы синусов к треугольнику $\triangle VAB$ и описанной около него окружности радиуса $R$:

$\frac{AB}{\sin(\angle AVB)} = 2R$

Сторона $AB$ является диаметром основания конуса, то есть $AB = 2r$.

$\frac{2r}{\sin(180^\circ - \alpha)} = 2R$

Используя тождество $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, получаем:

$\frac{2r}{\sin\alpha} = 2R$, откуда $r = R\sin\alpha$.

Теперь, зная $r$ и $l$, можем вычислить площадь боковой поверхности конуса:

$S_{бок} = \pi r l = \pi (R\sin\alpha) (2R\sin(\alpha/2)) = 2\pi R^2 \sin\alpha \sin(\alpha/2)$.

Для более компактной записи можно использовать формулу синуса двойного угла $\sin\alpha = 2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)$:

$S_{бок} = 2\pi R^2 (2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)) \sin(\alpha/2) = 4\pi R^2 \sin^2(\alpha/2)\cos(\alpha/2)$.

Ответ: $4\pi R^2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$