Номер 16.14, страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.14. В сферу радиуса $R$ вписан конус. Угол между образующей конуса и плоскостью его основания равен $\alpha$. В конус помещён цилиндр так, что одно из оснований цилиндра принадлежит основанию конуса, а окружность другого основания принадлежит боковой поверхности конуса. Известно, что осевым сечением цилиндра является квадрат. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Для решения задачи сначала найдем параметры конуса (радиус основания $r_c$ и высоту $H$) через радиус сферы $R$ и угол $\alpha$. Затем, используя эти параметры, найдем размеры вписанного цилиндра (радиус $r_{cyl}$ и высоту $h_{cyl}$). Наконец, вычислим площадь полной поверхности цилиндра.

1. Нахождение размеров конуса.

Рассмотрим осевое сечение конуса, вписанного в сферу. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, вписанный в большую окружность сферы радиуса $R$. Угол $\alpha$ между образующей конуса и плоскостью его основания является углом при основании этого равнобедренного треугольника. Пусть $l$ - образующая конуса, $r_c$ - радиус его основания, $H$ - высота.

В осевом сечении (равнобедренном треугольнике) применим теорему синусов. Радиус описанной окружности равен $R$. Сторона, равная диаметру основания конуса ($2r_c$), лежит против угла при вершине, который равен $\pi - 2\alpha$.

По теореме синусов:

$\frac{2r_c}{\sin(\pi - 2\alpha)} = 2R$

Поскольку $\sin(\pi - 2\alpha) = \sin(2\alpha)$, получаем:

$\frac{2r_c}{\sin(2\alpha)} = 2R \Rightarrow r_c = R \sin(2\alpha)$

Используя тригонометрические тождества, $r_c = R(2\sin\alpha \cos\alpha) = 2R\sin\alpha\cos\alpha$.

Высоту конуса $H$ найдем из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом основания и образующей:

$H = r_c \tan\alpha = (2R\sin\alpha\cos\alpha) \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2R\sin^2\alpha$.

Итак, размеры конуса: $r_c = 2R\sin\alpha\cos\alpha$ и $H = 2R\sin^2\alpha$.

2. Нахождение размеров цилиндра.

В конус вписан цилиндр, осевое сечение которого по условию является квадратом. Обозначим радиус основания цилиндра как $r_{cyl}$, а его высоту как $h_{cyl}$. Из условия следует, что $h_{cyl} = 2r_{cyl}$.

Рассмотрим снова осевое сечение. В равнобедренный треугольник (сечение конуса) вписан квадрат (сечение цилиндра). Малый конус, расположенный над цилиндром, подобен исходному конусу. Высота малого конуса равна $H - h_{cyl}$, а радиус его основания - $r_{cyl}$.

Из подобия треугольников (сечений конусов) следует соотношение:

$\frac{r_{cyl}}{r_c} = \frac{H - h_{cyl}}{H}$

Подставим $h_{cyl} = 2r_{cyl}$:

$\frac{r_{cyl}}{r_c} = \frac{H - 2r_{cyl}}{H}$

Преобразуем это уравнение, чтобы выразить $r_{cyl}$:

$H \cdot r_{cyl} = r_c(H - 2r_{cyl})$

$H \cdot r_{cyl} = H \cdot r_c - 2r_c \cdot r_{cyl}$

$r_{cyl}(H + 2r_c) = H \cdot r_c$

$r_{cyl} = \frac{H \cdot r_c}{H + 2r_c}$

Теперь подставим найденные ранее выражения для $H$ и $r_c$:

$r_{cyl} = \frac{(2R\sin^2\alpha)(2R\sin\alpha\cos\alpha)}{2R\sin^2\alpha + 2(2R\sin\alpha\cos\alpha)} = \frac{4R^2\sin^3\alpha\cos\alpha}{2R\sin^2\alpha + 4R\sin\alpha\cos\alpha}$

Вынесем в знаменателе общий множитель $2R\sin\alpha$:

$r_{cyl} = \frac{4R^2\sin^3\alpha\cos\alpha}{2R\sin\alpha(\sin\alpha + 2\cos\alpha)}$

Сократив дробь, получим:

$r_{cyl} = \frac{2R\sin^2\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha + 2\cos\alpha}$

3. Расчет площади полной поверхности цилиндра.

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2\pi r_{cyl}^2 + 2\pi r_{cyl} h_{cyl}$.

Так как $h_{cyl} = 2r_{cyl}$, формула принимает вид:

$S_{полн} = 2\pi r_{cyl}^2 + 2\pi r_{cyl}(2r_{cyl}) = 2\pi r_{cyl}^2 + 4\pi r_{cyl}^2 = 6\pi r_{cyl}^2$.

Подставим найденное выражение для $r_{cyl}$:

$S_{полн} = 6\pi \left( \frac{2R\sin^2\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha + 2\cos\alpha} \right)^2$

$S_{полн} = 6\pi \frac{4R^2\sin^4\alpha\cos^2\alpha}{(\sin\alpha + 2\cos\alpha)^2}$

$S_{полн} = \frac{24\pi R^2\sin^4\alpha\cos^2\alpha}{(\sin\alpha + 2\cos\alpha)^2}$

Ответ: $\frac{24\pi R^2\sin^4\alpha\cos^2\alpha}{(\sin\alpha + 2\cos\alpha)^2}$