Номер 16.10, страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.10. Найдите радиус шара, описанного около усечённого конуса, если радиусы оснований конуса равны 5 см и 8 см, а его высота — 9 см.

Для нахождения радиуса шара, описанного около усеченного конуса, рассмотрим их осевое сечение. В сечении мы получим равнобокую трапецию (осевое сечение конуса), вписанную в окружность (сечение шара). Центр этой окружности будет совпадать с центром шара и лежать на оси симметрии трапеции, которая является осью конуса.

Обозначим радиусы оснований конуса как $r_1 = 5$ см и $r_2 = 8$ см, а высоту конуса как $h = 9$ см. Пусть $R$ — искомый радиус шара.

Пусть центр шара $O$ находится на оси конуса на расстоянии $x$ от центра большего основания (радиусом $r_2$). Тогда расстояние от центра шара до центра меньшего основания (радиусом $r_1$) будет равно $h-x = 9-x$.

Так как окружности оснований конуса лежат на поверхности шара, то расстояние от центра шара до любой точки на этих окружностях равно радиусу шара $R$. Мы можем рассмотреть два прямоугольных треугольника, гипотенузами которых является радиус шара $R$.

Для треугольника, образованного радиусом большего основания:

$R^2 = r_2^2 + x^2$

Для треугольника, образованного радиусом меньшего основания:

$R^2 = r_1^2 + (h-x)^2$

Поскольку левые части уравнений равны, приравняем и правые:

$r_2^2 + x^2 = r_1^2 + (h-x)^2$

Подставим известные значения $r_1 = 5$, $r_2 = 8$ и $h = 9$:

$8^2 + x^2 = 5^2 + (9-x)^2$

$64 + x^2 = 25 + 81 - 18x + x^2$

Упростим уравнение, сократив $x^2$:

$64 = 106 - 18x$

Найдем $x$:

$18x = 106 - 64$

$18x = 42$

$x = \frac{42}{18} = \frac{7}{3}$

Теперь, зная $x$, можем найти $R^2$, подставив значение $x$ в первое уравнение:

$R^2 = 8^2 + (\frac{7}{3})^2$

$R^2 = 64 + \frac{49}{9}$

$R^2 = \frac{64 \cdot 9}{9} + \frac{49}{9} = \frac{576 + 49}{9} = \frac{625}{9}$

Вычислим радиус $R$:

$R = \sqrt{\frac{625}{9}} = \frac{25}{3} = 8\frac{1}{3}$ см.

Ответ: $8\frac{1}{3}$ см.