Номер 16.8, страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.8. Образующая конуса равна $b$, а его высота — $h$. Найдите радиус шара, описанного около данного конуса.

Рассмотрим осевое сечение конуса и описанного около него шара. В сечении получится равнобедренный треугольник, вписанный в большую окружность шара. Боковые стороны этого треугольника равны образующей конуса $b$, а его высота равна высоте конуса $h$. Радиус этой окружности является искомым радиусом шара $R$.

Пусть $r$ — радиус основания конуса. Высота конуса $h$, радиус основания $r$ и образующая $b$ связаны соотношением по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного этими тремя отрезками:

$h^2 + r^2 = b^2$

Отсюда можем выразить квадрат радиуса основания конуса:

$r^2 = b^2 - h^2$

Центр $O$ описанного шара лежит на оси конуса, то есть на высоте равнобедренного треугольника, полученного в сечении. Расстояние от центра шара до вершины конуса равно радиусу шара $R$. Расстояние от центра шара до любой точки на окружности основания конуса также равно $R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с вершинами в центре шара $O$, центре основания конуса и точке на окружности основания. Катеты этого треугольника равны $r$ (радиус основания конуса) и $|h - R|$ (расстояние от центра шара до центра основания конуса), а гипотенуза равна $R$ (радиус шара). По теореме Пифагора:

$r^2 + (h - R)^2 = R^2$

Подставим в это уравнение выражение для $r^2$, которое мы нашли ранее:

$(b^2 - h^2) + (h - R)^2 = R^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$b^2 - h^2 + h^2 - 2hR + R^2 = R^2$

$b^2 - 2hR = 0$

Выразим из этого уравнения радиус шара $R$:

$2hR = b^2$

$R = \frac{b^2}{2h}$

Ответ: $R = \frac{b^2}{2h}$