Страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.3. Осевое сечение конуса является прямоугольным треугольником, а диаметр основания конуса равен 10 см. Найдите радиус сферы, описанной около данного конуса.

16.3. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, боковыми сторонами которого являются образующие конуса, а основанием — диаметр основания конуса. Обозначим это сечение как $\triangle ABC$, где $C$ — вершина конуса, а $AB$ — диаметр основания.

По условию задачи, этот треугольник является прямоугольным. В равнобедренном треугольнике ($\triangle ABC$, где $AC = BC$) прямым может быть только угол при вершине, противолежащей основанию (в данном случае $\angle C = 90^\circ$), так как углы при основании равны, и если бы они были прямыми, их сумма уже составила бы $180^\circ$.

Следовательно, осевое сечение — это равнобедренный прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является диаметр основания конуса $AB$. По условию, диаметр $d = 10$ см, значит, длина гипотенузы $AB = 10$ см.

Сфера, описанная около конуса, проходит через его вершину и все точки окружности основания. Это означает, что осевое сечение конуса вписано в большой круг этой сферы. Таким образом, радиус описанной сферы ($R_{сф}$) равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения, то есть около $\triangle ABC$.

Известно, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине его гипотенузы, а радиус этой окружности равен половине длины гипотенузы.

Вычислим радиус описанной сферы:

$R_{сф} = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

16.4. Образующая конуса длиной 9 см равна диаметру его основания.

Найдите радиус сферы, описанной около данного конуса.

Пусть $l$ — образующая конуса, $d$ — диаметр его основания, а $R$ — радиус описанной сферы.

По условию задачи, длина образующей равна 9 см, и она равна диаметру основания конуса:
$l = 9$ см
$l = d$
Следовательно, $d = 9$ см.

Рассмотрим осевое сечение конуса и описанной около него сферы. Сечением конуса будет равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны равны образующей $l$, а основание равно диаметру $d$. Сечением сферы будет окружность, описанная около этого треугольника.

Так как по условию $l=d=9$ см, то треугольник в осевом сечении является равносторонним со стороной $a = 9$ см.

Радиус $R$ сферы, описанной около конуса, равен радиусу окружности, описанной около этого равностороннего треугольника. Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим значение $a=9$ см в формулу:
$R = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ см.

Ответ: $3\sqrt{3}$ см.

16.5. В шар вписан цилиндр, высота которого равна диаметру основания.

Во сколько раз площадь большого круга шара больше площади основания цилиндра?

Пусть $R$ — радиус шара, а $r$ и $h$ — радиус основания и высота вписанного цилиндра соответственно.

По условию задачи, высота цилиндра равна диаметру его основания, то есть $h = 2r$.

Рассмотрим осевое сечение данной комбинации тел. Сечением шара является большой круг радиуса $R$, а сечением цилиндра — прямоугольник со сторонами $h$ и $2r$. Так как цилиндр вписан в шар, этот прямоугольник вписан в большой круг.

Диагональ этого прямоугольника является диаметром шара. Свяжем радиус шара $R$ с параметрами цилиндра $r$ и $h$ с помощью теоремы Пифагора для треугольника, катетами которого являются радиус основания цилиндра $r$ и половина его высоты $\frac{h}{2}$, а гипотенузой — радиус шара $R$.

Получаем уравнение: $R^2 = r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2$.

Подставим в это уравнение условие $h = 2r$:

$R^2 = r^2 + \left(\frac{2r}{2}\right)^2 = r^2 + r^2 = 2r^2$.

Теперь найдем площади, которые нужно сравнить.

Площадь большого круга шара ($S_{шара}$) вычисляется по формуле:

$S_{шара} = \pi R^2$.

Площадь основания цилиндра ($S_{осн}$) вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \pi r^2$.

Чтобы найти, во сколько раз площадь большого круга шара больше площади основания цилиндра, найдем их отношение:

$\frac{S_{шара}}{S_{осн}} = \frac{\pi R^2}{\pi r^2} = \frac{R^2}{r^2}$.

Мы уже установили, что $R^2 = 2r^2$. Подставим это в наше отношение:

$\frac{S_{шара}}{S_{осн}} = \frac{2r^2}{r^2} = 2$.

Таким образом, площадь большого круга шара в 2 раза больше площади основания цилиндра.

Ответ: в 2 раза.

16.6. Диагональ осевого сечения цилиндра образует с высотой цилиндра угол $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если радиус шара, описанного около него, равен $R$.

Пусть $h$ — высота цилиндра, $r$ — радиус его основания. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами $h$ и $2r$. Диагональ этого прямоугольника, обозначим ее $d$, является также диаметром сферы, описанной около цилиндра.

Центр описанной сферы совпадает с центром осевого сечения (точкой пересечения его диагоналей). Радиус описанной сферы $R$ равен половине диагонали осевого сечения $d$. Таким образом, $d = 2R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой цилиндра $h$, диаметром основания $2r$ и диагональю осевого сечения $d$. В этом треугольнике $d$ является гипотенузой, а $h$ и $2r$ — катетами. По условию, угол между диагональю $d$ и высотой $h$ равен $\alpha$.

Используя тригонометрические соотношения в этом прямоугольном треугольнике, мы можем выразить катеты через гипотенузу и угол $\alpha$:
Высота $h$ является катетом, прилежащим к углу $\alpha$:
$h = d \cdot \cos(\alpha)$
Диаметр основания $2r$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$:
$2r = d \cdot \sin(\alpha)$

Подставим в эти выражения значение $d = 2R$:
$h = 2R \cos(\alpha)$
$2r = 2R \sin(\alpha)$, откуда $r = R \sin(\alpha)$

Теперь найдем площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$, которая вычисляется по формуле:
$S_{бок} = 2 \pi r h$
Подставим найденные выражения для $r$ и $h$:
$S_{бок} = 2 \pi (R \sin(\alpha)) (2R \cos(\alpha))$
$S_{бок} = 4 \pi R^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$

Используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) $, упростим полученное выражение:
$S_{бок} = 2 \pi R^2 (2 \sin(\alpha) \cos(\alpha))$
$S_{бок} = 2 \pi R^2 \sin(2\alpha)$

Ответ: $2 \pi R^2 \sin(2\alpha)$

16.7. Радиус основания цилиндра равен $r$, а радиус шара, описанного около этого цилиндра, равен $R$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2 \pi r h$, где $r$ — радиус основания, а $h$ — высота цилиндра. В задаче дан радиус основания $r$, поэтому для нахождения площади нам необходимо выразить высоту $h$ через известные величины.

Рассмотрим осевое сечение цилиндра, вписанного в шар. Это сечение представляет собой прямоугольник (сечение цилиндра) с высотой $h$ и шириной $2r$, вписанный в большой круг шара радиусом $R$.

Диагональ этого прямоугольника является диаметром описанной окружности (большого круга шара), но удобнее рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $R$, радиусом основания цилиндра $r$ и половиной высоты цилиндра $\frac{h}{2}$. В этом треугольнике:

• гипотенуза — это радиус шара $R$;
• один катет — это радиус основания цилиндра $r$;
• второй катет — это половина высоты цилиндра, то есть $\frac{h}{2}$.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$R^2 = r^2 + (\frac{h}{2})^2$

Выразим из этого соотношения высоту $h$:

$(\frac{h}{2})^2 = R^2 - r^2$

$\frac{h^2}{4} = R^2 - r^2$

$h^2 = 4(R^2 - r^2)$

$h = \sqrt{4(R^2 - r^2)} = 2\sqrt{R^2 - r^2}$

Теперь подставим найденное выражение для высоты $h$ в формулу площади боковой поверхности цилиндра:

$S_{бок} = 2 \pi r h = 2 \pi r \cdot (2\sqrt{R^2 - r^2}) = 4 \pi r \sqrt{R^2 - r^2}$

Ответ: $4 \pi r \sqrt{R^2 - r^2}$

16.8. Образующая конуса равна $b$, а его высота — $h$. Найдите радиус шара, описанного около данного конуса.

Рассмотрим осевое сечение конуса и описанного около него шара. В сечении получится равнобедренный треугольник, вписанный в большую окружность шара. Боковые стороны этого треугольника равны образующей конуса $b$, а его высота равна высоте конуса $h$. Радиус этой окружности является искомым радиусом шара $R$.

Пусть $r$ — радиус основания конуса. Высота конуса $h$, радиус основания $r$ и образующая $b$ связаны соотношением по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного этими тремя отрезками:

$h^2 + r^2 = b^2$

Отсюда можем выразить квадрат радиуса основания конуса:

$r^2 = b^2 - h^2$

Центр $O$ описанного шара лежит на оси конуса, то есть на высоте равнобедренного треугольника, полученного в сечении. Расстояние от центра шара до вершины конуса равно радиусу шара $R$. Расстояние от центра шара до любой точки на окружности основания конуса также равно $R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с вершинами в центре шара $O$, центре основания конуса и точке на окружности основания. Катеты этого треугольника равны $r$ (радиус основания конуса) и $|h - R|$ (расстояние от центра шара до центра основания конуса), а гипотенуза равна $R$ (радиус шара). По теореме Пифагора:

$r^2 + (h - R)^2 = R^2$

Подставим в это уравнение выражение для $r^2$, которое мы нашли ранее:

$(b^2 - h^2) + (h - R)^2 = R^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$b^2 - h^2 + h^2 - 2hR + R^2 = R^2$

$b^2 - 2hR = 0$

Выразим из этого уравнения радиус шара $R$:

$2hR = b^2$

$R = \frac{b^2}{2h}$

Ответ: $R = \frac{b^2}{2h}$

16.9. Радиус описанного около конуса шара равен $R$. Образующую конуса видно из центра этого шара под углом $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ – радиус основания конуса, а $l$ – его образующая. Наша задача — выразить $r$ и $l$ через радиус описанного шара $R$ и угол $\alpha$.

Рассмотрим осевое сечение конуса и описанного шара. Сечением является равнобедренный треугольник, вписанный в большую окружность шара. Обозначим вершину конуса как $V$, центр шара как $O$, а концы диаметра основания конуса, лежащие в плоскости сечения, как $A$ и $B$. Таким образом, $\triangle VAB$ – осевое сечение конуса, вписанное в окружность радиуса $R$ с центром $O$.

По условию, образующую конуса ($VA$ или $VB$) видно из центра шара $O$ под углом $\alpha$. Это означает, что в равнобедренном треугольнике $\triangle VOA$ (где $OV = OA = R$) угол при вершине $O$ равен $\angle VOA = \alpha$. Сторона $VA$ этого треугольника является образующей конуса $l$.

Найдем длину образующей $l$ из треугольника $\triangle VOA$. По теореме косинусов:

$l^2 = VA^2 = OV^2 + OA^2 - 2 \cdot OV \cdot OA \cdot \cos(\angle VOA)$

$l^2 = R^2 + R^2 - 2R^2\cos\alpha = 2R^2(1 - \cos\alpha)$

Применяя формулу половинного угла $1 - \cos\alpha = 2\sin^2(\alpha/2)$, получаем:

$l^2 = 2R^2 \cdot 2\sin^2(\alpha/2) = 4R^2\sin^2(\alpha/2)$

Отсюда $l = 2R\sin(\alpha/2)$.

Теперь найдем радиус основания конуса $r$. Рассмотрим треугольник $\triangle VAB$, который вписан в окружность радиуса $R$. По теореме о вписанном угле, угол, опирающийся на хорду $VA$, равен половине центрального угла, стягивающего ту же дугу. То есть, $\angle VBA = \frac{1}{2}\angle VOA = \alpha/2$. Аналогично, $\angle VAB = \alpha/2$.

Тогда угол при вершине $V$ в треугольнике $\triangle VAB$ равен:

$\angle AVB = 180^\circ - (\angle VAB + \angle VBA) = 180^\circ - (\alpha/2 + \alpha/2) = 180^\circ - \alpha$.

Применим следствие из теоремы синусов к треугольнику $\triangle VAB$ и описанной около него окружности радиуса $R$:

$\frac{AB}{\sin(\angle AVB)} = 2R$

Сторона $AB$ является диаметром основания конуса, то есть $AB = 2r$.

$\frac{2r}{\sin(180^\circ - \alpha)} = 2R$

Используя тождество $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, получаем:

$\frac{2r}{\sin\alpha} = 2R$, откуда $r = R\sin\alpha$.

Теперь, зная $r$ и $l$, можем вычислить площадь боковой поверхности конуса:

$S_{бок} = \pi r l = \pi (R\sin\alpha) (2R\sin(\alpha/2)) = 2\pi R^2 \sin\alpha \sin(\alpha/2)$.

Для более компактной записи можно использовать формулу синуса двойного угла $\sin\alpha = 2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)$:

$S_{бок} = 2\pi R^2 (2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)) \sin(\alpha/2) = 4\pi R^2 \sin^2(\alpha/2)\cos(\alpha/2)$.

Ответ: $4\pi R^2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$

16.10. Найдите радиус шара, описанного около усечённого конуса, если радиусы оснований конуса равны 5 см и 8 см, а его высота — 9 см.

Для нахождения радиуса шара, описанного около усеченного конуса, рассмотрим их осевое сечение. В сечении мы получим равнобокую трапецию (осевое сечение конуса), вписанную в окружность (сечение шара). Центр этой окружности будет совпадать с центром шара и лежать на оси симметрии трапеции, которая является осью конуса.

Обозначим радиусы оснований конуса как $r_1 = 5$ см и $r_2 = 8$ см, а высоту конуса как $h = 9$ см. Пусть $R$ — искомый радиус шара.

Пусть центр шара $O$ находится на оси конуса на расстоянии $x$ от центра большего основания (радиусом $r_2$). Тогда расстояние от центра шара до центра меньшего основания (радиусом $r_1$) будет равно $h-x = 9-x$.

Так как окружности оснований конуса лежат на поверхности шара, то расстояние от центра шара до любой точки на этих окружностях равно радиусу шара $R$. Мы можем рассмотреть два прямоугольных треугольника, гипотенузами которых является радиус шара $R$.

Для треугольника, образованного радиусом большего основания:

$R^2 = r_2^2 + x^2$

Для треугольника, образованного радиусом меньшего основания:

$R^2 = r_1^2 + (h-x)^2$

Поскольку левые части уравнений равны, приравняем и правые:

$r_2^2 + x^2 = r_1^2 + (h-x)^2$

Подставим известные значения $r_1 = 5$, $r_2 = 8$ и $h = 9$:

$8^2 + x^2 = 5^2 + (9-x)^2$

$64 + x^2 = 25 + 81 - 18x + x^2$

Упростим уравнение, сократив $x^2$:

$64 = 106 - 18x$

Найдем $x$:

$18x = 106 - 64$

$18x = 42$

$x = \frac{42}{18} = \frac{7}{3}$

Теперь, зная $x$, можем найти $R^2$, подставив значение $x$ в первое уравнение:

$R^2 = 8^2 + (\frac{7}{3})^2$

$R^2 = 64 + \frac{49}{9}$

$R^2 = \frac{64 \cdot 9}{9} + \frac{49}{9} = \frac{576 + 49}{9} = \frac{625}{9}$

Вычислим радиус $R$:

$R = \sqrt{\frac{625}{9}} = \frac{25}{3} = 8\frac{1}{3}$ см.

Ответ: $8\frac{1}{3}$ см.

16.11. Образующая усечённого конуса равна $2\sqrt{3}$ см, а радиус меньшего основания — $\sqrt{3}$ см. Найдите радиус сферы, описанной около данного усечённого конуса, если угол между его образующей и большим основанием равен $60^{\circ}$.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение усечённого конуса и описанной около него сферы. Осевым сечением усечённого конуса является равнобедренная трапеция, а сечением сферы — большая окружность, которая будет описана около этой трапеции. Радиус этой окружности и будет являться искомым радиусом сферы.

Пусть осевое сечение — трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — её основания (диаметры оснований конуса), а $AB$ и $CD$ — боковые стороны (образующие конуса).
По условию задачи имеем:
Образующая $l = AB = CD = 2\sqrt{3}$ см.
Радиус меньшего основания $r_1 = \frac{BC}{2} = \sqrt{3}$ см, откуда $BC = 2\sqrt{3}$ см.
Угол между образующей и большим основанием $\angle{DAB} = 60°$.

1. Найдём высоту и радиус большего основания усечённого конуса.
Проведём высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ катет $BH$ является высотой конуса $h$, а катет $AH$ равен разности радиусов оснований $r_2 - r_1$.
Из $\triangle ABH$ находим:
$h = BH = AB \cdot \sin(\angle{DAB}) = 2\sqrt{3} \cdot \sin(60°) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$ см.
$AH = AB \cdot \cos(\angle{DAB}) = 2\sqrt{3} \cdot \cos(60°) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3}$ см.
Радиус большего основания $r_2$ равен $r_1 + AH$:
$r_2 = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.
Длина большего основания $AD = 2r_2 = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.

2. Найдём радиус $R$ окружности, описанной около трапеции $ABCD$.
Радиус окружности, описанной около трапеции, совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника, образованного её диагональю и двумя сторонами, например, $\triangle ACD$.
Для нахождения радиуса $R$ воспользуемся теоремой синусов для $\triangle ACD$:$R = \frac{AC}{2 \sin(\angle{ADC})}$
Нам известны сторона $CD = 2\sqrt{3}$, сторона $AD = 4\sqrt{3}$ и угол между ними $\angle{ADC} = 60°$.
По теореме косинусов для $\triangle ACD$ найдём диагональ $AC$:
$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle{ADC})$
$AC^2 = (4\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos(60°)$
$AC^2 = (16 \cdot 3) + (4 \cdot 3) - 16 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2}$
$AC^2 = 48 + 12 - 24 = 36$
$AC = \sqrt{36} = 6$ см.
Теперь можем найти радиус описанной окружности $R$ для $\triangle ACD$ (и, следовательно, для всей трапеции):
$R = \frac{AC}{2 \sin(\angle{ADC})} = \frac{6}{2 \sin(60°)} = \frac{6}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$R = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Радиус описанной сферы равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения, то есть $R = 2\sqrt{3}$ см.
Ответ: $2\sqrt{3}$ см.

16.12. Радиус основания конуса равен 4 см, а радиус описанного около него шара — 5 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Обозначим радиус основания конуса как $r$, радиус описанного шара как $R$, высоту конуса как $h$, а его образующую как $l$.

По условию задачи даны:

Радиус основания конуса $r = 4$ см.

Радиус описанного шара $R = 5$ см.

Площадь боковой поверхности конуса находится по формуле: $S_{бок} = \pi r l$. Для ее вычисления необходимо найти длину образующей $l$.

Рассмотрим осевое сечение конуса, вписанного в шар. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник (осевое сечение конуса), вписанный в большую окружность шара (сечение шара). Основание этого треугольника равно диаметру основания конуса ($2r$), боковые стороны равны образующей ($l$), а высота треугольника равна высоте конуса ($h$).

Существуют два основных соотношения, связывающих параметры конуса и описанного шара:

1. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой $h$, радиусом основания $r$ и образующей $l$, по теореме Пифагора следует: $l^2 = h^2 + r^2$.

2. Для конуса, вписанного в шар, радиус шара $R$, образующая $l$ и высота $h$ связаны соотношением: $l^2 = 2Rh$.

Подставим известные значения $r=4$ см и $R=5$ см в эти уравнения, чтобы составить систему:

$l^2 = h^2 + 4^2 \implies l^2 = h^2 + 16$

$l^2 = 2 \cdot 5 \cdot h \implies l^2 = 10h$

Приравняем правые части обоих выражений для $l^2$, чтобы найти высоту $h$:

$h^2 + 16 = 10h$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$h^2 - 10h + 16 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 10, а их произведение равно 16. Корнями являются $h_1 = 2$ и $h_2 = 8$.

Это означает, что условию задачи удовлетворяют два конуса с разной высотой. Найдем площадь боковой поверхности для каждого из них.

Случай 1: Высота конуса $h = 8$ см.

Найдем квадрат образующей: $l^2 = 10h = 10 \cdot 8 = 80$.

Тогда образующая $l = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$ см.

Площадь боковой поверхности в этом случае равна:

$S_{бок1} = \pi r l = \pi \cdot 4 \cdot 4\sqrt{5} = 16\pi\sqrt{5}$ см².

Случай 2: Высота конуса $h = 2$ см.

Найдем квадрат образующей: $l^2 = 10h = 10 \cdot 2 = 20$.

Тогда образующая $l = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ см.

Площадь боковой поверхности в этом случае равна:

$S_{бок2} = \pi r l = \pi \cdot 4 \cdot 2\sqrt{5} = 8\pi\sqrt{5}$ см².

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: $16\pi\sqrt{5}$ см² или $8\pi\sqrt{5}$ см².

16.13. Радиусы оснований усечённого конуса равны 3 см и 4 см, а радиус описанного около него шара — 5 см. Найдите высоту усечённого конуса.

Пусть радиусы оснований усечённого конуса равны $r_1 = 3$ см и $r_2 = 4$ см, а радиус описанного шара $R = 5$ см. Для нахождения высоты конуса $h$ рассмотрим осевое сечение данной системы тел. Сечением шара является большой круг радиусом $R=5$ см, а сечением усечённого конуса — равнобокая трапеция, вписанная в этот круг. Основания трапеции равны диаметрам оснований конуса, то есть $2r_1 = 6$ см и $2r_2 = 8$ см. Высота этой трапеции равна высоте усечённого конуса $h$.

Пусть центр описанной окружности (и, соответственно, центр шара) — точка $O$. Ось симметрии трапеции проходит через точку $O$. Найдём расстояние от центра $O$ до каждого из оснований трапеции. Эти расстояния являются катетами в прямоугольных треугольниках, где гипотенузой является радиус шара $R$, а другим катетом — радиус соответствующего основания конуса ($r_1$ или $r_2$).

Расстояние от центра шара $O$ до плоскости меньшего основания (с радиусом $r_1=3$ см) обозначим $d_1$. По теореме Пифагора:$d_1 = \sqrt{R^2 - r_1^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ см.

Расстояние от центра шара $O$ до плоскости большего основания (с радиусом $r_2=4$ см) обозначим $d_2$. По теореме Пифагора:$d_2 = \sqrt{R^2 - r_2^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ см.

Высота усечённого конуса $h$ — это расстояние между плоскостями его оснований. Существует два возможных варианта расположения оснований относительно центра шара:

1. Центр шара находится между основаниями усечённого конуса.В этом случае высота конуса будет равна сумме расстояний от центра до каждого из оснований.$h = d_1 + d_2 = 4 + 3 = 7$ см.

2. Оба основания усечённого конуса находятся по одну сторону от центра шара.В этом случае высота конуса будет равна разности расстояний от центра до каждого из оснований.$h = |d_1 - d_2| = |4 - 3| = 1$ см.

Так как в условии задачи нет уточнений о расположении центра шара относительно оснований конуса, возможны оба случая.
Ответ: 1 см или 7 см.

16.14. В сферу радиуса $R$ вписан конус. Угол между образующей конуса и плоскостью его основания равен $\alpha$. В конус помещён цилиндр так, что одно из оснований цилиндра принадлежит основанию конуса, а окружность другого основания принадлежит боковой поверхности конуса. Известно, что осевым сечением цилиндра является квадрат. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Для решения задачи сначала найдем параметры конуса (радиус основания $r_c$ и высоту $H$) через радиус сферы $R$ и угол $\alpha$. Затем, используя эти параметры, найдем размеры вписанного цилиндра (радиус $r_{cyl}$ и высоту $h_{cyl}$). Наконец, вычислим площадь полной поверхности цилиндра.

1. Нахождение размеров конуса.

Рассмотрим осевое сечение конуса, вписанного в сферу. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, вписанный в большую окружность сферы радиуса $R$. Угол $\alpha$ между образующей конуса и плоскостью его основания является углом при основании этого равнобедренного треугольника. Пусть $l$ - образующая конуса, $r_c$ - радиус его основания, $H$ - высота.

В осевом сечении (равнобедренном треугольнике) применим теорему синусов. Радиус описанной окружности равен $R$. Сторона, равная диаметру основания конуса ($2r_c$), лежит против угла при вершине, который равен $\pi - 2\alpha$.

По теореме синусов:

$\frac{2r_c}{\sin(\pi - 2\alpha)} = 2R$

Поскольку $\sin(\pi - 2\alpha) = \sin(2\alpha)$, получаем:

$\frac{2r_c}{\sin(2\alpha)} = 2R \Rightarrow r_c = R \sin(2\alpha)$

Используя тригонометрические тождества, $r_c = R(2\sin\alpha \cos\alpha) = 2R\sin\alpha\cos\alpha$.

Высоту конуса $H$ найдем из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом основания и образующей:

$H = r_c \tan\alpha = (2R\sin\alpha\cos\alpha) \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2R\sin^2\alpha$.

Итак, размеры конуса: $r_c = 2R\sin\alpha\cos\alpha$ и $H = 2R\sin^2\alpha$.

2. Нахождение размеров цилиндра.

В конус вписан цилиндр, осевое сечение которого по условию является квадратом. Обозначим радиус основания цилиндра как $r_{cyl}$, а его высоту как $h_{cyl}$. Из условия следует, что $h_{cyl} = 2r_{cyl}$.

Рассмотрим снова осевое сечение. В равнобедренный треугольник (сечение конуса) вписан квадрат (сечение цилиндра). Малый конус, расположенный над цилиндром, подобен исходному конусу. Высота малого конуса равна $H - h_{cyl}$, а радиус его основания - $r_{cyl}$.

Из подобия треугольников (сечений конусов) следует соотношение:

$\frac{r_{cyl}}{r_c} = \frac{H - h_{cyl}}{H}$

Подставим $h_{cyl} = 2r_{cyl}$:

$\frac{r_{cyl}}{r_c} = \frac{H - 2r_{cyl}}{H}$

Преобразуем это уравнение, чтобы выразить $r_{cyl}$:

$H \cdot r_{cyl} = r_c(H - 2r_{cyl})$

$H \cdot r_{cyl} = H \cdot r_c - 2r_c \cdot r_{cyl}$

$r_{cyl}(H + 2r_c) = H \cdot r_c$

$r_{cyl} = \frac{H \cdot r_c}{H + 2r_c}$

Теперь подставим найденные ранее выражения для $H$ и $r_c$:

$r_{cyl} = \frac{(2R\sin^2\alpha)(2R\sin\alpha\cos\alpha)}{2R\sin^2\alpha + 2(2R\sin\alpha\cos\alpha)} = \frac{4R^2\sin^3\alpha\cos\alpha}{2R\sin^2\alpha + 4R\sin\alpha\cos\alpha}$

Вынесем в знаменателе общий множитель $2R\sin\alpha$:

$r_{cyl} = \frac{4R^2\sin^3\alpha\cos\alpha}{2R\sin\alpha(\sin\alpha + 2\cos\alpha)}$

Сократив дробь, получим:

$r_{cyl} = \frac{2R\sin^2\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha + 2\cos\alpha}$

3. Расчет площади полной поверхности цилиндра.

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2\pi r_{cyl}^2 + 2\pi r_{cyl} h_{cyl}$.

Так как $h_{cyl} = 2r_{cyl}$, формула принимает вид:

$S_{полн} = 2\pi r_{cyl}^2 + 2\pi r_{cyl}(2r_{cyl}) = 2\pi r_{cyl}^2 + 4\pi r_{cyl}^2 = 6\pi r_{cyl}^2$.

Подставим найденное выражение для $r_{cyl}$:

$S_{полн} = 6\pi \left( \frac{2R\sin^2\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha + 2\cos\alpha} \right)^2$

$S_{полн} = 6\pi \frac{4R^2\sin^4\alpha\cos^2\alpha}{(\sin\alpha + 2\cos\alpha)^2}$

$S_{полн} = \frac{24\pi R^2\sin^4\alpha\cos^2\alpha}{(\sin\alpha + 2\cos\alpha)^2}$

Ответ: $\frac{24\pi R^2\sin^4\alpha\cos^2\alpha}{(\sin\alpha + 2\cos\alpha)^2}$

16.15. В сферу радиуса $R$ вписан конус. Угол между образующими конуса в осевом сечении равен $\alpha$. В конус помещён цилиндр так, что одно из оснований цилиндра принадлежит основанию конуса, а окружность другого основания принадлежит боковой поверхности конуса. Известно, что отношение радиуса основания цилиндра к его образующей равно $1:4$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Пусть радиус сферы равен $R$. Обозначим радиус основания конуса как $r_k$, а его высоту как $h_k$. Угол при вершине осевого сечения конуса равен $\alpha$.

Сначала найдем параметры конуса. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, вписанный в большую окружность сферы радиуса $R$. Основание этого треугольника равно диаметру основания конуса $2r_k$, а угол при вершине равен $\alpha$. По расширенной теореме синусов для этого треугольника: $$ \frac{2r_k}{\sin\alpha} = 2R $$ Отсюда находим радиус основания конуса: $$ r_k = R \sin\alpha $$

В осевом сечении высота конуса $h_k$ и радиус $r_k$ связаны с углом $\alpha/2$ через тангенс: $$ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r_k}{h_k} $$ Выразим высоту конуса $h_k$: $$ h_k = \frac{r_k}{\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)} = \frac{R \sin\alpha}{\frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}} = \frac{R \cdot 2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}} = 2R \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) $$

Теперь рассмотрим цилиндр, вписанный в конус. Пусть его радиус равен $r_c$, а высота (образующая) равна $h_c$. По условию, отношение радиуса основания цилиндра к его образующей равно $1:4$, следовательно: $$ \frac{r_c}{h_c} = \frac{1}{4} \implies h_c = 4r_c $$

Так как одно основание цилиндра лежит в основании конуса, а окружность другого основания лежит на боковой поверхности конуса, мы можем рассмотреть подобие конусов в осевом сечении. Малый конус, отсекаемый верхним основанием цилиндра, подобен исходному конусу. Высота малого конуса равна $h_k - h_c$, а радиус его основания равен $r_c$. Из подобия следует соотношение: $$ \frac{r_c}{r_k} = \frac{h_k - h_c}{h_k} $$

Подставим в это соотношение $h_c = 4r_c$ и выразим $r_c$: $$ \frac{r_c}{r_k} = \frac{h_k - 4r_c}{h_k} $$ $$ r_c h_k = r_k (h_k - 4r_c) $$ $$ r_c h_k = r_k h_k - 4r_k r_c $$ $$ r_c (h_k + 4r_k) = r_k h_k $$ $$ r_c = \frac{r_k h_k}{h_k + 4r_k} $$

Подставим выражения для $r_k$ и $h_k$ через $R$ и $\alpha$: $$ r_c = \frac{(R \sin\alpha) \cdot (2R \cos^2(\frac{\alpha}{2}))}{2R \cos^2(\frac{\alpha}{2}) + 4(R \sin\alpha)} $$ Используя формулу синуса двойного угла $\sin\alpha = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$, преобразуем выражение: $$ r_c = \frac{R \cdot 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2}) \cdot 2R \cos^2(\frac{\alpha}{2})}{2R \cos^2(\frac{\alpha}{2}) + 4R \cdot 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{4R^2 \sin(\frac{\alpha}{2})\cos^3(\frac{\alpha}{2})}{2R\cos(\frac{\alpha}{2})(\cos(\frac{\alpha}{2}) + 4\sin(\frac{\alpha}{2}))} $$ После сокращения получаем: $$ r_c = \frac{2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) + 4\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)} $$

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{цил}$ вычисляется по формуле $S_{цил} = 2\pi r_c^2 + 2\pi r_c h_c$. Учитывая, что $h_c = 4r_c$, получаем: $$ S_{цил} = 2\pi r_c^2 + 2\pi r_c (4r_c) = 2\pi r_c^2 + 8\pi r_c^2 = 10\pi r_c^2 $$

Наконец, подставим найденное выражение для $r_c$: $$ S_{цил} = 10\pi \left( \frac{2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) + 4\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)} \right)^2 = 10\pi \frac{4R^2 \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos^4\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\left(\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) + 4\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^2} $$ $$ S_{цил} = \frac{40\pi R^2 \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos^4\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\left(\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) + 4\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^2} $$

Ответ: $\frac{40\pi R^2 \sin^2(\alpha/2)\cos^4(\alpha/2)}{(\cos(\alpha/2) + 4\sin(\alpha/2))^2}$