Страница 148 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какой цилиндр называют вписанным в сферу?

2. Какая точка является центром сферы, описанной около цилиндра?

3. Какой конус называют вписанным в сферу?

4. Где расположен центр сферы, описанной около конуса?

5. Какой усечённый конус называют вписанным в сферу?

6. Где расположен центр сферы, описанной около усечённого конуса?

Цилиндр называется вписанным в сферу, если окружности его оснований лежат на поверхности сферы. Это означает, что каждая точка на окружности как верхнего, так и нижнего основания цилиндра одновременно является и точкой сферы. Такой цилиндр всегда является прямым круговым цилиндром.

Ответ: Цилиндр, у которого окружности оснований являются окружностями на поверхности сферы.

Центр сферы, описанной около цилиндра, является точкой, равноудаленной от всех точек окружностей обоих оснований. В силу симметрии цилиндра, эта точка должна лежать на его оси. Также она должна быть равноудалена от плоскостей оснований. Единственная точка, удовлетворяющая этим условиям, — это середина отрезка, соединяющего центры оснований цилиндра, то есть середина его оси.

Ответ: Центром сферы, описанной около цилиндра, является середина его оси.

Конус называется вписанным в сферу, если его вершина и окружность его основания лежат на поверхности сферы. Таким образом, вершина конуса является одной из точек сферы, а его основание представляет собой круг, который является сечением сферы некоторой плоскостью. Такой конус всегда является прямым круговым конусом.

Ответ: Конус, у которого вершина и окружность основания лежат на поверхности сферы.

Центр сферы, описанной около конуса, расположен на оси конуса. Ось конуса — это прямая, проходящая через его вершину и центр основания. Так как центр сферы должен быть равноудален от всех точек окружности основания, он должен лежать на перпендикуляре к плоскости основания, проходящем через его центр, то есть на оси конуса. Поскольку эта точка также равноудалена и от вершины, она лежит на оси. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, вписанный в большую окружность сферы, и центр сферы совпадает с центром этой окружности.

Ответ: Центр сферы, описанной около конуса, расположен на его оси.

Усечённый конус называется вписанным в сферу, если окружности обоих его оснований (верхнего и нижнего) лежат на поверхности сферы. Основаниями такого усечённого конуса являются два параллельных круга, которые представляют собой сечения сферы двумя параллельными плоскостями. Такой усечённый конус всегда является прямым.

Ответ: Усечённый конус, у которого окружности обоих оснований лежат на поверхности сферы.

Центр сферы, описанной около усечённого конуса, расположен на оси этого конуса. Ось усечённого конуса — это отрезок, соединяющий центры его оснований. Центр сферы должен быть равноудален от всех точек окружностей и верхнего, и нижнего оснований. В силу осевой симметрии усечённого конуса, эта точка может находиться только на его оси. Осевое сечение усечённого конуса — это равнобокая трапеция, вписанная в большую окружность сферы, и центр сферы совпадает с центром этой описанной окружности.

Ответ: Центр сферы, описанной около усечённого конуса, расположен на его оси.

16.1. Радиус основания цилиндра равен 4 см, а его высота — 15 см. Найдите радиус шара, описанного около данного цилиндра.

16.1.

Для нахождения радиуса шара, описанного около цилиндра, рассмотрим осевое сечение данной комбинации тел. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, стороны которого равны диаметру основания цилиндра ($d$) и его высоте ($h$). Осевое сечение шара — это большой круг, который описан около этого прямоугольника.

Радиус описанного шара ($R$) будет равен половине диагонали прямоугольника, полученного в сечении.

По условию, радиус основания цилиндра $r = 4$ см, значит, его диаметр $d = 2r = 2 \cdot 4 = 8$ см. Высота цилиндра $h = 15$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю прямоугольника (которая является диаметром шара $2R$), диаметром основания цилиндра ($d$) и высотой цилиндра ($h$). По теореме Пифагора:

$(2R)^2 = d^2 + h^2$

Другой способ — рассмотреть прямоугольный треугольник, где гипотенузой является радиус шара ($R$), а катетами — радиус основания цилиндра ($r$) и половина высоты цилиндра ($\frac{h}{2}$).

По теореме Пифагора:

$R^2 = r^2 + (\frac{h}{2})^2$

Подставим известные значения:

$r = 4$ см

$h = 15$ см

$R^2 = 4^2 + (\frac{15}{2})^2 = 16 + (7.5)^2 = 16 + 56.25 = 72.25$

Найдем радиус шара, извлекая квадратный корень:

$R = \sqrt{72.25} = 8.5$ см.

Ответ: 8,5 см.

16.2. Высота цилиндра равна $4\sqrt{3}$ см, а диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол $60^{\circ}$. Найдите радиус сферы, описанной около данного цилиндра.

Пусть $h$ — высота цилиндра, $r$ — радиус его основания, а $R$ — радиус описанной сферы. По условию, высота цилиндра $h = 4\sqrt{3}$ см.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $d = 2r$. Диагональ этого прямоугольника, обозначим ее $D$, образует с плоскостью основания (то есть с диаметром $d$) угол $\alpha = 60°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, диаметром основания $d$ и диагональю осевого сечения $D$. В этом треугольнике $h$ и $d$ являются катетами, а $D$ — гипотенузой. Угол между гипотенузой $D$ и катетом $d$ равен $60°$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике можем найти диаметр основания $d$: $\tan(\alpha) = \frac{h}{d}$ $d = \frac{h}{\tan(60°)} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4$ см. Следовательно, радиус основания цилиндра $r$ равен половине диаметра: $r = \frac{d}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Центр сферы, описанной около цилиндра, находится в середине оси цилиндра. Радиус этой сферы $R$ можно найти как гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого являются радиус основания цилиндра $r$ и половина высоты цилиндра $\frac{h}{2}$.

Применим теорему Пифагора: $R^2 = r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2$ Подставим известные значения $r = 2$ см и $h = 4\sqrt{3}$ см: $\frac{h}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см. $R^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 = 4 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$ см$^2$. $R = \sqrt{16} = 4$ см.

Альтернативный способ решения:
Можно найти длину диагонали осевого сечения $D$ из того же прямоугольного треугольника: $\sin(\alpha) = \frac{h}{D}$ $D = \frac{h}{\sin(60°)} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 8$ см. Диагональ осевого сечения цилиндра является диаметром описанной около него сферы. Следовательно, радиус сферы $R$ равен половине этой диагонали: $R = \frac{D}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Ответ: 4 см.