Страница 143 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.7. Основанием прямой призмы является прямоугольная трапеция, большая боковая сторона которой равна 12 см, а острый угол — $30^\circ$.

Найдите площадь боковой поверхности призмы, если известно, что в эту призму можно вписать шар.

Пусть основанием прямой призмы является прямоугольная трапеция. Обозначим ее стороны: $a$ и $b$ – основания, $h$ – меньшая боковая сторона, которая перпендикулярна основаниям (и является высотой трапеции), $c$ – большая боковая сторона.

Согласно условию, большая боковая сторона $c = 12$ см, а острый угол трапеции равен $30^\circ$. Этот угол расположен между большей боковой стороной $c$ и большим основанием.

Для нахождения высоты трапеции $h$ рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $c$ (в качестве гипотенузы), высотой $h$ (в качестве катета) и частью большего основания. Угол, противолежащий катету $h$, равен $30^\circ$.

Следовательно, высота трапеции равна:

$h = c \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

В условии сказано, что в данную призму можно вписать шар. Это возможно только в том случае, если в ее основание (трапецию) можно вписать окружность, а высота призмы $H$ равна диаметру этой вписанной окружности. Диаметр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, в свою очередь, равен ее высоте $h$.

Таким образом, высота призмы $H$ равна высоте трапеции $h$:

$H = h = 6$ см.

Площадь боковой поверхности прямой призмы находится по формуле $S_{бок} = P \cdot H$, где $P$ – периметр основания, а $H$ – высота призмы.

Для нахождения периметра воспользуемся свойством описанного четырехугольника (трапеции, в которую можно вписать окружность): суммы длин его противолежащих сторон равны. Это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон:

$a + b = h + c$

Подставим известные значения $h=6$ см и $c=12$ см:

$a + b = 6 + 12 = 18$ см.

Теперь найдем периметр трапеции $P$:

$P = a + b + h + c = (a + b) + (h + c) = 18 + 18 = 36$ см.

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности призмы:

$S_{бок} = P \cdot H = 36 \cdot 6 = 216$ см².

Ответ: $216$ см².

15.8. Основанием прямой призмы является ромб, диагонали которого равны 12 см и 16 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если известно, что в эту призму можно вписать шар.

Основанием прямой призмы является ромб. Обозначим его диагонали как $d_1 = 12$ см и $d_2 = 16$ см.

1. Найдем сторону ромба.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они разбивают ромб на четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Катеты этих треугольников равны половинам диагоналей, а гипотенузой является сторона ромба $a$.
По теореме Пифагора:
$a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{(\frac{12}{2})^2 + (\frac{16}{2})^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

2. Найдем высоту призмы.
По условию, в призму можно вписать шар. Для прямой призмы это возможно тогда и только тогда, когда в ее основание можно вписать окружность, а высота призмы $H$ равна диаметру этой вписанной окружности.
Диаметр окружности, вписанной в ромб, равен высоте ромба $h_{ромба}$. Таким образом, $H = h_{ромба}$.
Площадь ромба можно найти двумя способами:
1. Через диагонали: $S_{ромба} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96$ см².
2. Через сторону и высоту: $S_{ромба} = a \cdot h_{ромба}$.
Приравняем эти два выражения для площади, чтобы найти высоту ромба:
$10 \cdot h_{ромба} = 96$
$h_{ромба} = \frac{96}{10} = 9.6$ см.
Следовательно, высота призмы $H = 9.6$ см.

3. Найдем площадь боковой поверхности призмы.
Площадь боковой поверхности прямой призмы $S_{бок}$ вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания.
Периметр ромба: $P_{осн} = 4a = 4 \cdot 10 = 40$ см.
Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = 40 \cdot 9.6 = 384$ см².

Ответ: 384 см².

15.9. Основанием прямой призмы, в которую вписан шар, является ромб с острым углом $\alpha$. Найдите угол между меньшей диагональю призмы и плоскостью её основания.

Пусть дана прямая призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$, основанием которой является ромб $ABCD$ со стороной $a$ и острым углом $\angle A = \alpha$.

Поскольку в прямую призму вписан шар, его диаметр должен быть равен высоте призмы $H$, а также диаметру окружности, вписанной в основание. Диаметр окружности, вписанной в ромб, равен высоте ромба $h$. Таким образом, высота призмы равна высоте ее основания: $H = h$.

Найдем высоту ромба $h$. Опустим высоту из вершины $D$ на сторону $AB$. Из прямоугольного треугольника, образованного стороной ромба $a$ (гипотенуза), высотой $h$ (катет) и углом $\alpha$, получаем:

$h = a \cdot \sin(\alpha)$

Следовательно, высота призмы $H = a \sin(\alpha)$.

Меньшая диагональ ромба $d_1$ лежит напротив острого угла $\alpha$. Это диагональ $BD$. Найдем ее длину, используя теорему косинусов для треугольника $ABD$:

$d_1^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(\alpha) = 2a^2(1 - \cos(\alpha))$

Применим формулу половинного угла $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$:

$d_1^2 = 2a^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$

$d_1 = 2a\sin(\frac{\alpha}{2})$

Угол между меньшей диагональю призмы (например, $B_1D$) и плоскостью основания — это угол между этой диагональю и ее проекцией на плоскость основания (диагональю $BD$). Обозначим этот угол как $\beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $B_1BD$. Катет $BB_1$ равен высоте призмы $H$, а катет $BD$ равен меньшей диагонали основания $d_1$. Тангенс искомого угла $\beta$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan(\beta) = \frac{BB_1}{BD} = \frac{H}{d_1}$

Подставим найденные выражения для $H$ и $d_1$:

$\tan(\beta) = \frac{a \sin(\alpha)}{2a \sin(\frac{\alpha}{2})}$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(\alpha) = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$:

$\tan(\beta) = \frac{2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}{2\sin(\frac{\alpha}{2})} = \cos(\frac{\alpha}{2})$

Отсюда находим искомый угол:

$\beta = \arctan(\cos(\frac{\alpha}{2}))$

Ответ: $\arctan(\cos(\frac{\alpha}{2}))$

15.10. Найдите радиус шара, вписанного в правильный тетраэдр, ребро которого равно $a$.

15.10.

Для нахождения радиуса $r$ шара, вписанного в многогранник, используется формула, связывающая объем многогранника $V$, площадь его полной поверхности $S_{полн}$ и радиус вписанного шара:

$V = \frac{1}{3} S_{полн} \cdot r$

Из этой формулы выразим искомый радиус:

$r = \frac{3V}{S_{полн}}$

Таким образом, задача сводится к вычислению объема и площади полной поверхности правильного тетраэдра с ребром $a$.

1. Вычисление площади полной поверхности ($S_{полн}$).

Правильный тетраэдр состоит из четырех одинаковых граней, каждая из которых является равносторонним треугольником со стороной $a$. Площадь одного такого треугольника ($S_{грани}$) вычисляется по формуле:

$S_{грани} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Площадь полной поверхности тетраэдра — это сумма площадей четырех его граней:

$S_{полн} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = a^2 \sqrt{3}$

2. Вычисление объема тетраэдра ($V$).

Объем тетраэдра, как и любой пирамиды, находится по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота тетраэдра.

Площадь основания $S_{осн}$ равна площади одной грани: $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Для нахождения высоты $H$ тетраэдра воспользуемся теоремой Пифагора. Высота правильного тетраэдра, опущенная из вершины, падает в центр основания, который является центром описанной около основания окружности. Радиус $R$ этой окружности для равностороннего треугольника со стороной $a$ равен $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Высота тетраэдра $H$, боковое ребро $a$ и радиус $R$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $a$ — гипотенуза, а $H$ и $R$ — катеты. Следовательно:

$H^2 = a^2 - R^2 = a^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 = a^2 - \frac{3a^2}{9} = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$

Отсюда находим высоту:

$H = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

Теперь вычисляем объем тетраэдра:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a^3 \sqrt{18}}{36} = \frac{a^3 \cdot 3\sqrt{2}}{36} = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12}$

3. Вычисление радиуса вписанного шара ($r$).

Подставляем найденные значения объема $V$ и площади полной поверхности $S_{полн}$ в формулу для радиуса:

$r = \frac{3V}{S_{полн}} = \frac{3 \cdot \frac{a^3 \sqrt{2}}{12}}{a^2 \sqrt{3}} = \frac{\frac{a^3 \sqrt{2}}{4}}{a^2 \sqrt{3}} = \frac{a \sqrt{2}}{4\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$r = \frac{a \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{a \sqrt{6}}{4 \cdot 3} = \frac{a \sqrt{6}}{12}$

Ответ: $r = \frac{a\sqrt{6}}{12}$

15.11. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро — $\sqrt{21}$ см. Найдите радиус сферы, вписанной в данную пирамиду.

Радиус $r$ сферы, вписанной в пирамиду, можно найти по формуле: $r = \frac{3V}{S_{полн}}$, где $V$ — объем пирамиды, а $S_{полн}$ — площадь ее полной поверхности. Для нахождения этих величин выполним следующие шаги.

В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный треугольник. Пусть сторона основания $a = 6$ см. Площадь основания $S_{осн}$ вычисляется по формуле:$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

Найдем высоту пирамиды $H$. Вершина правильной пирамиды проецируется в центр ее основания, который является центром описанной окружности. Радиус $R$ этой окружности для правильного треугольника со стороной $a$ равен $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.$R = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см. Высота пирамиды $H$, боковое ребро $l = \sqrt{21}$ см и радиус $R$ образуют прямоугольный треугольник, где $l$ — гипотенуза. По теореме Пифагора:$H^2 = l^2 - R^2 = (\sqrt{21})^2 - (2\sqrt{3})^2 = 21 - 12 = 9$. Следовательно, высота $H = 3$ см.

Теперь можем вычислить объем пирамиды $V$:$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 3 = 9\sqrt{3}$ см³.

Далее найдем площадь боковой поверхности $S_{бок}$. Для этого нам понадобится апофема $h_a$ (высота боковой грани). Апофема, высота пирамиды $H$ и радиус вписанной в основание окружности $r_{осн}$ образуют прямоугольный треугольник. Радиус вписанной окружности для правильного треугольника:$r_{осн} = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см. По теореме Пифагора для апофемы:$h_a^2 = H^2 + r_{осн}^2 = 3^2 + (\sqrt{3})^2 = 9 + 3 = 12$. Апофема $h_a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см. Площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания $P$ на апофему:$P = 3a = 3 \cdot 6 = 18$ см.$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 2\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$ см².

Площадь полной поверхности $S_{полн}$ равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 9\sqrt{3} + 18\sqrt{3} = 27\sqrt{3}$ см².

Наконец, подставляем найденные значения $V$ и $S_{полн}$ в формулу для радиуса вписанной сферы:$r = \frac{3V}{S_{полн}} = \frac{3 \cdot 9\sqrt{3}}{27\sqrt{3}} = \frac{27\sqrt{3}}{27\sqrt{3}} = 1$ см.

Ответ: 1 см.

15.12. Основанием пирамиды является ромб со стороной $a$ и углом $\alpha$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\beta$. Найдите радиус шара, вписанного в данную пирамиду.

Поскольку все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны $\beta$, ее вершина проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Центр шара, вписанного в пирамиду, лежит на высоте пирамиды и является центром окружности, вписанной в сечение пирамиды, проходящее через ее высоту и апофемы противоположных боковых граней.

1. Найдем радиус окружности, вписанной в ромб.
Основанием пирамиды является ромб со стороной $a$ и углом $\alpha$. Площадь ромба можно вычислить по формуле $S_{ромба} = a^2 \sin(\alpha)$.
Также площадь ромба равна произведению его стороны на высоту: $S_{ромба} = a \cdot h$.
Отсюда высота ромба $h = a \sin(\alpha)$.
Радиус вписанной в ромб окружности $r_{осн}$ равен половине его высоты:
$r_{осн} = \frac{h}{2} = \frac{a \sin(\alpha)}{2}$.

2. Найдем радиус вписанного шара.
Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее высоту и перпендикулярное двум противоположным сторонам ромба. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основанием которого является высота ромба $h = 2r_{осн}$, а углы при основании равны двугранному углу $\beta$.

Пусть $S$ – вершина пирамиды, $O$ – ее проекция на основание (центр вписанной в ромб окружности). Пусть $K$ – точка касания вписанной окружности со стороной ромба. Тогда $OK = r_{осн}$, а $SK$ – апофема боковой грани. Треугольник $SOK$ – прямоугольный ($\angle SOK = 90^\circ$), и $\angle SKO = \beta$ по определению двугранного угла.

Центр вписанного шара $I$ лежит на высоте $SO$. Радиус вписанного шара $r$ равен расстоянию от центра $I$ до плоскости основания и до плоскости боковой грани. Таким образом, $IO = r$, и расстояние от $I$ до апофемы $SK$ (в плоскости сечения) также равно $r$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $IOK$. В нем $OK = r_{осн}$ и $IO = r$. Точка $I$ как центр вписанной в сечение окружности лежит на биссектрисе угла $SKL$ (где $L$ - точка касания на противоположной стороне), то есть $IK$ является биссектрисой угла $\beta$. Таким образом, $\angle IKO = \frac{\beta}{2}$.

Из прямоугольного треугольника $IOK$ имеем: $\text{tg}(\angle IKO) = \frac{IO}{OK}$ $\text{tg}\left(\frac{\beta}{2}\right) = \frac{r}{r_{осн}}$

Отсюда выражаем радиус вписанного шара $r$: $r = r_{осн} \cdot \text{tg}\left(\frac{\beta}{2}\right)$

Подставляем найденное ранее значение $r_{осн}$: $r = \frac{a \sin(\alpha)}{2} \cdot \text{tg}\left(\frac{\beta}{2}\right)$

Ответ: $r = \frac{a \sin(\alpha)}{2} \text{tg}\left(\frac{\beta}{2}\right)$.

15.13. Треугольник $ABC$ является основанием пирамиды $DABC$, $AB = BC, AC = a, \angle BAC = \alpha$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\beta$. Найдите радиус шара, вписанного в данную пирамиду.

Так как все двугранные углы при ребрах основания пирамиды $DABC$ равны $\beta$, то вершина пирамиды $D$ проецируется в центр вписанной в основание окружности. Обозначим эту точку (инцентр) как $H$. Высота пирамиды — $DH$.

Центр $O$ вписанного в пирамиду шара лежит на высоте пирамиды $DH$. Радиус вписанного шара, обозначим его $r$, равен расстоянию от точки $O$ до любой грани пирамиды.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту $DH$ и перпендикуляр $HM$, опущенный из инцентра $H$ на сторону основания $AC$. Длина отрезка $HM$ равна радиусу окружности, вписанной в основание ($r_{осн}$). Прямая $DM$ является апофемой боковой грани $ADC$. Угол $\angle DMH$ является линейным углом двугранного угла при ребре $AC$, следовательно, $\angle DMH = \beta$.

Точка $O$ (центр вписанного шара) лежит на отрезке $DH$. Расстояние от $O$ до плоскости основания $ABC$ равно $OH$, и это есть радиус шара $r$. Так как шар касается и боковой грани $ADC$, расстояние от $O$ до этой грани также равно $r$. Точка $O$ равноудалена от плоскостей $ABC$ и $ADC$, а значит, лежит на биссекторной плоскости двугранного угла между ними. В рассматриваемом сечении (плоскость $DHM$) это означает, что точка $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle DMH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHM$ (где $\angle OHM = 90^\circ$). В этом треугольнике $OH = r$, $HM = r_{осн}$, а угол $\angle OMH = \frac{\beta}{2}$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике получаем:

$\tan(\angle OMH) = \frac{OH}{HM}$

$r = HM \cdot \tan(\frac{\beta}{2}) = r_{осн} \cdot \tan(\frac{\beta}{2})$

Теперь найдем радиус $r_{осн}$ окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Основанием является равнобедренный треугольник $ABC$, где $AB = BC$, $AC = a$ и $\angle BAC = \alpha$. Центр вписанной окружности $H$ лежит на высоте и биссектрисе $BK$, проведенной к основанию $AC$. Так как $BK$ — медиана, $AK = \frac{AC}{2} = \frac{a}{2}$. Так как $BK$ — биссектриса, то $AH$ — биссектриса угла $\angle BAC$, поэтому $\angle HAK = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHK$. В нем катет $HK$ является искомым радиусом $r_{осн}$.

$\tan(\angle HAK) = \frac{HK}{AK}$

$r_{осн} = HK = AK \cdot \tan(\angle HAK) = \frac{a}{2} \tan(\frac{\alpha}{2})$

Наконец, подставим найденное значение $r_{осн}$ в формулу для радиуса вписанного шара $r$:

$r = (\frac{a}{2} \tan(\frac{\alpha}{2})) \cdot \tan(\frac{\beta}{2}) = \frac{a}{2} \tan(\frac{\alpha}{2}) \tan(\frac{\beta}{2})$

Ответ: $ \frac{a}{2} \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) $

15.14. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны, а площадь основания равна $S$. Центр шара, вписанного в пирамиду, делит её высоту в отношении $2 : 1$, считая от вершины пирамиды. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Пусть $S_{полн}$ — площадь полной поверхности пирамиды, $S_{осн}$ — площадь основания, $h$ — высота пирамиды, $V$ — объём пирамиды.

По условию, площадь основания равна $S$, то есть $S_{осн} = S$.

Так как все двугранные углы при рёбрах основания равны, в эту пирамиду можно вписать шар. Центр вписанного шара будет лежать на высоте пирамиды. Пусть $O$ — центр вписанного шара, а $r$ — его радиус. Расстояние от центра вписанного шара до основания равно радиусу $r$.

По условию, центр шара $O$ делит высоту $h$ в отношении $2:1$, считая от вершины. Пусть $P$ — вершина пирамиды, а $H_0$ — её проекция на основание. Тогда $PH_0 = h$. Точка $O$ лежит на отрезке $PH_0$. Отношение длин отрезков $PO : OH_0 = 2 : 1$.

Расстояние от точки $O$ до плоскости основания равно длине отрезка $OH_0$. Это расстояние равно радиусу вписанного шара $r$. Таким образом, $OH_0 = r$.

Из соотношения $PO : OH_0 = 2 : 1$ следует, что $PO = 2 \cdot OH_0 = 2r$.

Высота пирамиды $h$ равна сумме длин отрезков $PO$ и $OH_0$:

$h = PO + OH_0 = 2r + r = 3r$.

Объём пирамиды можно вычислить по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

Подставим известные нам значения:

$V = \frac{1}{3} S \cdot (3r) = S \cdot r$.

С другой стороны, объём любого многогранника, в который можно вписать шар, вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{полн} \cdot r$

где $S_{полн}$ — полная площадь поверхности многогранника, а $r$ — радиус вписанного шара.

Приравняем два выражения для объёма пирамиды:

$S \cdot r = \frac{1}{3} S_{полн} \cdot r$

Так как пирамида существует, её объём и радиус вписанного шара не равны нулю ($r > 0$), мы можем разделить обе части уравнения на $r$:

$S = \frac{1}{3} S_{полн}$

Отсюда выразим площадь полной поверхности:

$S_{полн} = 3S$

Ответ: $3S$.

15.15. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $45^\circ$. В каком отношении центр вписанного в эту пирамиду шара делит её высоту, считая от вершины пирамиды?

Пусть $S$ – вершина пирамиды, $H$ – проекция вершины $S$ на плоскость основания. Поскольку все двугранные углы при рёбрах основания равны, вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в многоугольник основания. Пусть $h = SH$ – высота пирамиды, а $r_{осн}$ – радиус окружности, вписанной в основание.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту $SH$ и апофему боковой грани $SK$, где $K$ – точка на ребре основания, такая что $HK \perp$ этому ребру. Тогда $HK = r_{осн}$. По теореме о трёх перпендикулярах, $SK$ также перпендикулярно этому ребру основания. Таким образом, $\angle SKH$ является линейным углом двугранного угла при ребре основания.

По условию, $\angle SKH = 45^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SHK$ (где $\angle SHK = 90^\circ$). Поскольку один из острых углов равен $45^\circ$, этот треугольник является равнобедренным, и его катеты равны:$SH = HK$, то есть $h = r_{осн}$.

Центр $O$ вписанного в пирамиду шара лежит на её высоте $SH$. Радиус $r$ вписанного шара равен расстоянию от центра $O$ до плоскости основания, то есть $r = OH$.

Центр вписанного шара равноудалён от всех граней пирамиды. Это означает, что точка $O$ находится на одинаковом расстоянии $r$ от плоскости основания и от боковой грани, проходящей через апофему $SK$. В нашем сечении (плоскости $SHK$) точка $O$ равноудалена от сторон угла $\angle SKH$ – лучей $KH$ и $KS$. Следовательно, луч $KO$ является биссектрисой угла $\angle SKH$.

Таким образом, $\angle OKH = \frac{\angle SKH}{2} = \frac{45^\circ}{2} = 22.5^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHK$ ($\angle OHK = 90^\circ$). В нём:$OH = r$ (радиус вписанного шара)$HK = r_{осн} = h$ (высота пирамиды)

Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике:$\tan(\angle OKH) = \frac{OH}{HK} \Rightarrow \tan(22.5^\circ) = \frac{r}{h}$Отсюда $r = h \cdot \tan(22.5^\circ)$.

Вычислим значение $\tan(22.5^\circ)$ по формуле тангенса половинного угла $\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$:$\tan(22.5^\circ) = \tan(\frac{45^\circ}{2}) = \frac{1 - \cos 45^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2} - 2}{2} = \sqrt{2} - 1$.

Теперь мы можем выразить $r$ через $h$:$r = h(\sqrt{2} - 1)$.

Центр шара $O$ делит высоту $SH$ на два отрезка: $SO$ (от вершины до центра) и $OH$ (от центра до основания). Длина отрезка $OH$ равна радиусу шара: $OH = r = h(\sqrt{2} - 1)$. Длину отрезка $SO$ найдём как разность высоты и отрезка $OH$:$SO = SH - OH = h - h(\sqrt{2} - 1) = h(1 - (\sqrt{2} - 1)) = h(1 - \sqrt{2} + 1) = h(2 - \sqrt{2})$.

Найдём искомое отношение, в котором центр шара делит высоту, считая от вершины. Это отношение $\frac{SO}{OH}$:$\frac{SO}{OH} = \frac{h(2 - \sqrt{2})}{h(\sqrt{2} - 1)} = \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}$.

Упростим полученное выражение, вынеся в числителе $\sqrt{2}$ за скобки:$\frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2}$.

Таким образом, центр вписанного шара делит высоту пирамиды в отношении $\sqrt{2}:1$, считая от вершины.

Ответ: $\sqrt{2}:1$

15.16. Шар, вписанный в правильную четырёхугольную пирамиду, касается одной из её боковых граней в точке A. Найдите площадь сечения этого шара плоскостью, проходящей через точку A параллельно основанию пирамиды, если двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $60^\circ$, а расстояние от центра шара до вершины пирамиды — 8 см.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$. $O$ — центр вписанного шара, $R$ — его радиус. Центр $O$ лежит на высоте пирамиды $SH$, где $H$ — центр основания $ABCD$.

1. Нахождение радиуса вписанного шара $R$.

Рассмотрим диагональное сечение пирамиды, проходящее через апофему $SM$ боковой грани (где $M$ — середина ребра основания, например, $BC$) и высоту пирамиды $SH$. В этом сечении (треугольник $SHM$) вписанный шар предстает как окружность, вписанная в угол $\angle SMH$. Этот угол является двугранным углом при ребре основания, и по условию $\angle SMH = 60^\circ$.

Центр вписанной сферы $O$ равноудален от основания $ABCD$ и боковой грани $SBC$. Расстояние от $O$ до основания равно $OH = R$. Расстояние от $O$ до боковой грани $SBC$ также равно $R$. В сечении $SHM$ это расстояние есть перпендикуляр, опущенный из точки $O$ на апофему $SM$. Таким образом, точка $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle SMH$.

Следовательно, $\angle OMH = \frac{1}{2} \angle SMH = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle OHM$ (где $\angle OHM = 90^\circ$):
$HM = \frac{OH}{\tan(\angle OMH)} = \frac{R}{\tan(30^\circ)} = \frac{R}{1/\sqrt{3}} = R\sqrt{3}$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle SHM$ (где $\angle SHM = 90^\circ$):
$SH = HM \cdot \tan(\angle SMH) = (R\sqrt{3}) \cdot \tan(60^\circ) = (R\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = 3R$.

Высота пирамиды $SH$ состоит из двух отрезков: $SO$ (расстояние от центра шара до вершины) и $OH$ (радиус шара). По условию $SO = 8$ см.
$SH = SO + OH \implies 3R = 8 + R$.
$2R = 8 \implies R = 4$ см.

2. Нахождение положения точки касания $A$ и расстояния от центра шара до секущей плоскости.

Шар касается боковой грани в точке $A$. В силу симметрии пирамиды относительно плоскости $SHM$, точка касания $A$ лежит на апофеме $SM$. Радиус шара, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости (боковой грани). Следовательно, $OA \perp SM$.

Найдем высоту точки $A$ над основанием пирамиды. Для этого рассмотрим треугольник $\triangle OSM$. Мы знаем его стороны:
- $SO = 8$ см (по условию).- $OH = R = 4$ см, $HM = R\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см. В прямоугольном треугольнике $\triangle OHM$, $OM = \sqrt{OH^2 + HM^2} = \sqrt{4^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 48} = \sqrt{64} = 8$ см.- $SH = 3R = 12$ см. В прямоугольном треугольнике $\triangle SHM$, $SM = \sqrt{SH^2 + HM^2} = \sqrt{12^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{144 + 48} = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$ см.

Треугольник $\triangle OSM$ является равнобедренным, так как $SO = OM = 8$ см. Точка $A$ лежит на стороне $SM$, и $OA$ является высотой этого треугольника, опущенной на сторону $SM$.

По теореме косинусов для $\triangle OSM$ найдем угол $\angle OSM$:
$OM^2 = SO^2 + SM^2 - 2 \cdot SO \cdot SM \cdot \cos(\angle OSM)$
$8^2 = 8^2 + (8\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8\sqrt{3} \cdot \cos(\angle OSM)$
$64 = 64 + 192 - 128\sqrt{3} \cdot \cos(\angle OSM)$
$0 = 192 - 128\sqrt{3} \cdot \cos(\angle OSM)$
$\cos(\angle OSM) = \frac{192}{128\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, $\angle OSM = 30^\circ$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOA$ ($\angle SAO = 90^\circ$).
$SA = SO \cdot \cos(\angle OSM) = 8 \cdot \cos(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см. Поскольку $SM = 8\sqrt{3}$ см, а $SA = 4\sqrt{3}$ см, точка $A$ является серединой апофемы $SM$.

Секущая плоскость проходит через точку $A$ параллельно основанию. Высота точки $A$ над основанием будет равна среднему арифметическому высот точек $S$ и $M$. Высота точки $S$ равна $SH = 12$ см, высота точки $M$ равна $0$. Высота точки $A$: $h_A = \frac{12 + 0}{2} = 6$ см.

Центр шара $O$ находится на высоте $OH = R = 4$ см от основания. Расстояние $d$ от центра шара до секущей плоскости равно разности их высот:
$d = h_A - OH = 6 - 4 = 2$ см.

3. Нахождение площади сечения шара.

Сечением шара является круг. Радиус этого круга $r$ можно найти по формуле, связывающей радиус шара $R$, расстояние от центра до плоскости $d$ и радиус сечения $r$:
$R^2 = d^2 + r^2$.
$4^2 = 2^2 + r^2$.
$16 = 4 + r^2$.
$r^2 = 12$.

Площадь сечения $S_{сеч}$ равна:
$S_{сеч} = \pi r^2 = 12\pi$ см$^2$.

Ответ: $12\pi$ см$^2$.

15.17. Двугранный угол правильной треугольной пирамиды при ребре основания равен $45^\circ$, а радиус вписанной сферы — $\sqrt{2}$ см. Эта сфера касается одной из боковых граней пирамиды в точке M. Найдите длину линии пересечения данной сферы и плоскости, проходящей через точку M параллельно основанию пирамиды.

Пусть $SABC$ — правильная треугольная пирамида с вершиной $S$ и основанием $ABC$. Пусть $O$ — центр основания (и основание высоты пирамиды $SO$). Пусть $K$ — середина ребра основания $AC$. Тогда $SK$ — апофема боковой грани $SAC$, а $OK$ — радиус вписанной в основание окружности.

Двугранный угол при ребре основания — это угол между плоскостью основания и плоскостью боковой грани. Он равен углу $\angle SKO$. По условию, $\angle SKO = 45^\circ$.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту $SO$ и апофему $SK$. Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник $\triangle SOK$ с прямым углом при вершине $O$. Так как $\angle SKO = 45^\circ$, то $\triangle SOK$ является равнобедренным прямоугольным треугольником, и его высота $H = SO$ равна радиусу вписанной в основание окружности $R_{in} = OK$.

Центр вписанной в пирамиду сферы, обозначим его $I$, лежит на высоте пирамиды $SO$. Радиус вписанной сферы $r$ равен расстоянию от центра $I$ до всех граней пирамиды. По условию, $r = \sqrt{2}$ см.

Расстояние от центра $I$ до плоскости основания равно $IO = r$.

Центр вписанной сферы $I$ является точкой пересечения биссекторных плоскостей двугранных углов пирамиды. В сечении $SOK$ точка $I$ лежит на биссектрисе угла $\angle SKO$.

Рассмотрим $\triangle SOK$. $KI$ — биссектриса угла $\angle SKO$. По свойству биссектрисы треугольника:$$ \frac{SI}{IO} = \frac{SK}{OK} $$В прямоугольном $\triangle SOK$ имеем $SO=OK$. По теореме Пифагора $SK = \sqrt{SO^2 + OK^2} = \sqrt{OK^2 + OK^2} = OK\sqrt{2}$. Тогда:$$ \frac{SI}{IO} = \frac{OK\sqrt{2}}{OK} = \sqrt{2} $$Так как $IO=r$, получаем $SI = IO\sqrt{2} = r\sqrt{2}$. Высота пирамиды $H = SO = SI + IO = r\sqrt{2} + r = r(\sqrt{2}+1)$.

Сфера касается боковой грани $SAC$ в точке $M$. Поскольку плоскость $SOK$ перпендикулярна плоскости грани $SAC$ (так как $AC \perp SK$ и $AC \perp OK$), точка касания $M$ лежит на апофеме $SK$. При этом радиус сферы $IM$ перпендикулярен грани $SAC$, а значит, и апофеме $SK$. Таким образом, $IM \perp SK$ и $IM=r$.

Найдём положение точки $M$ на апофеме $SK$. Рассмотрим $\triangle SIM$. Этот треугольник лежит в плоскости $SOK$. Угол $\angle ISK = \angle OSK = 90^\circ - \angle SKO = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Поскольку $IM \perp SK$, $\triangle SIM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M$.

Найдём длину отрезка $SP$, где $P$ — проекция точки $M$ на высоту $SO$. В прямоугольном $\triangle SMP$ (который подобен $\triangle SOK$), $\angle MSP = \angle OSK = 45^\circ$. В прямоугольном $\triangle SIM$ катет $SM$ равен:$$ SM = SI \cdot \cos(45^\circ) = (r\sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = r $$Тогда $SP = SM \cdot \cos(45^\circ) = r \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{r\sqrt{2}}{2}$.

Нас интересует длина линии пересечения сферы и плоскости, проходящей через точку $M$ параллельно основанию. Эта линия является окружностью. Чтобы найти её длину (длину окружности), нужно найти её радиус $R_{sec}$.

Плоскость сечения параллельна основанию и проходит через точку $M$. Высота этой плоскости над основанием равна высоте точки $M$ над основанием, $h_M$. Высота центра сферы $I$ над основанием равна $h_I = IO = r$.

Высота точки $M$ над основанием:$$ h_M = SO - SP = H - SP = r(\sqrt{2}+1) - \frac{r\sqrt{2}}{2} = r + \frac{r\sqrt{2}}{2} = r\left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) $$

Расстояние $d$ от центра сферы $I$ до секущей плоскости равно разности их высот:$$ d = |h_M - h_I| = \left| r\left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) - r \right| = \left| r + \frac{r\sqrt{2}}{2} - r \right| = \frac{r\sqrt{2}}{2} $$

Радиус $R_{sec}$ окружности в сечении связан с радиусом сферы $r$ и расстоянием $d$ по теореме Пифагора: $R_{sec}^2 = r^2 - d^2$.$$ R_{sec}^2 = r^2 - \left(\frac{r\sqrt{2}}{2}\right)^2 = r^2 - \frac{r^2 \cdot 2}{4} = r^2 - \frac{r^2}{2} = \frac{r^2}{2} $$$$ R_{sec} = \sqrt{\frac{r^2}{2}} = \frac{r}{\sqrt{2}} = \frac{r\sqrt{2}}{2} $$

Длина линии пересечения (длина окружности) равна $L = 2\pi R_{sec}$.$$ L = 2\pi \cdot \frac{r\sqrt{2}}{2} = \pi r \sqrt{2} $$

Подставим значение $r = \sqrt{2}$ см:$$ L = \pi (\sqrt{2}) \sqrt{2} = 2\pi \text{ см} $$

Ответ: $2\pi$ см.