Номер 15.8, страница 143 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.8. Основанием прямой призмы является ромб, диагонали которого равны 12 см и 16 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если известно, что в эту призму можно вписать шар.

Основанием прямой призмы является ромб. Обозначим его диагонали как $d_1 = 12$ см и $d_2 = 16$ см.

1. Найдем сторону ромба.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они разбивают ромб на четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Катеты этих треугольников равны половинам диагоналей, а гипотенузой является сторона ромба $a$.
По теореме Пифагора:
$a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{(\frac{12}{2})^2 + (\frac{16}{2})^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

2. Найдем высоту призмы.
По условию, в призму можно вписать шар. Для прямой призмы это возможно тогда и только тогда, когда в ее основание можно вписать окружность, а высота призмы $H$ равна диаметру этой вписанной окружности.
Диаметр окружности, вписанной в ромб, равен высоте ромба $h_{ромба}$. Таким образом, $H = h_{ромба}$.
Площадь ромба можно найти двумя способами:
1. Через диагонали: $S_{ромба} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96$ см².
2. Через сторону и высоту: $S_{ромба} = a \cdot h_{ромба}$.
Приравняем эти два выражения для площади, чтобы найти высоту ромба:
$10 \cdot h_{ромба} = 96$
$h_{ромба} = \frac{96}{10} = 9.6$ см.
Следовательно, высота призмы $H = 9.6$ см.

3. Найдем площадь боковой поверхности призмы.
Площадь боковой поверхности прямой призмы $S_{бок}$ вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания.
Периметр ромба: $P_{осн} = 4a = 4 \cdot 10 = 40$ см.
Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = 40 \cdot 9.6 = 384$ см².

Ответ: 384 см².