Номер 16.11, страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.11. Образующая усечённого конуса равна $2\sqrt{3}$ см, а радиус меньшего основания — $\sqrt{3}$ см. Найдите радиус сферы, описанной около данного усечённого конуса, если угол между его образующей и большим основанием равен $60^{\circ}$.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение усечённого конуса и описанной около него сферы. Осевым сечением усечённого конуса является равнобедренная трапеция, а сечением сферы — большая окружность, которая будет описана около этой трапеции. Радиус этой окружности и будет являться искомым радиусом сферы.

Пусть осевое сечение — трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — её основания (диаметры оснований конуса), а $AB$ и $CD$ — боковые стороны (образующие конуса).
По условию задачи имеем:
Образующая $l = AB = CD = 2\sqrt{3}$ см.
Радиус меньшего основания $r_1 = \frac{BC}{2} = \sqrt{3}$ см, откуда $BC = 2\sqrt{3}$ см.
Угол между образующей и большим основанием $\angle{DAB} = 60°$.

1. Найдём высоту и радиус большего основания усечённого конуса.
Проведём высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ катет $BH$ является высотой конуса $h$, а катет $AH$ равен разности радиусов оснований $r_2 - r_1$.
Из $\triangle ABH$ находим:
$h = BH = AB \cdot \sin(\angle{DAB}) = 2\sqrt{3} \cdot \sin(60°) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$ см.
$AH = AB \cdot \cos(\angle{DAB}) = 2\sqrt{3} \cdot \cos(60°) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3}$ см.
Радиус большего основания $r_2$ равен $r_1 + AH$:
$r_2 = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.
Длина большего основания $AD = 2r_2 = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.

2. Найдём радиус $R$ окружности, описанной около трапеции $ABCD$.
Радиус окружности, описанной около трапеции, совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника, образованного её диагональю и двумя сторонами, например, $\triangle ACD$.
Для нахождения радиуса $R$ воспользуемся теоремой синусов для $\triangle ACD$:$R = \frac{AC}{2 \sin(\angle{ADC})}$
Нам известны сторона $CD = 2\sqrt{3}$, сторона $AD = 4\sqrt{3}$ и угол между ними $\angle{ADC} = 60°$.
По теореме косинусов для $\triangle ACD$ найдём диагональ $AC$:
$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle{ADC})$
$AC^2 = (4\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos(60°)$
$AC^2 = (16 \cdot 3) + (4 \cdot 3) - 16 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2}$
$AC^2 = 48 + 12 - 24 = 36$
$AC = \sqrt{36} = 6$ см.
Теперь можем найти радиус описанной окружности $R$ для $\triangle ACD$ (и, следовательно, для всей трапеции):
$R = \frac{AC}{2 \sin(\angle{ADC})} = \frac{6}{2 \sin(60°)} = \frac{6}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$R = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Радиус описанной сферы равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения, то есть $R = 2\sqrt{3}$ см.
Ответ: $2\sqrt{3}$ см.