Номер 16.18, страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.18. В треугольник $ABC$ вписан ромб $AMFK$ так, что угол $A$ у них общий, а вершина $F$ принадлежит стороне $BC$. Найдите сторону ромба, если $AB = 10$ см, $AC = 15$ см.

Пусть сторона искомого ромба $AMFK$ равна $x$. По определению ромба, все его стороны равны, следовательно, $AM = MF = FK = KA = x$.

Согласно условию, ромб $AMFK$ вписан в треугольник $ABC$ таким образом, что угол $A$ у них общий, а вершина $F$ принадлежит стороне $BC$. Из этого следует, что вершина $M$ ромба лежит на стороне $AB$, а вершина $K$ — на стороне $AC$.

Одним из основных свойств ромба является параллельность его противоположных сторон. Значит, сторона $MF$ параллельна стороне $AK$. Так как точка $K$ лежит на стороне $AC$, то получаем, что $MF \parallel AC$.

Рассмотрим треугольники $BMF$ и $BAC$. Они подобны по двум углам:

• $\angle B$ — является общим для обоих треугольников.
• $\angle BMF = \angle BAC$ как соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых $MF$ и $AC$ секущей $AB$.

Поскольку $\triangle BMF \sim \triangle BAC$, мы можем записать отношение их соответственных сторон: $$ \frac{BM}{BA} = \frac{MF}{AC} $$

Выразим длины отрезков в этой пропорции через известные данные и переменную $x$:

• $BA = AB = 10$ см.
• $AC = 15$ см.
• $MF = x$ (так как это сторона ромба).
• $AM = x$ (также сторона ромба), тогда $BM = AB - AM = 10 - x$.

Подставим эти значения в записанное выше соотношение: $$ \frac{10 - x}{10} = \frac{x}{15} $$

Решим полученное уравнение. Используя основное свойство пропорции, получим: $$ 15 \cdot (10 - x) = 10 \cdot x $$ $$ 150 - 15x = 10x $$

Перенесем все члены, содержащие $x$, в правую часть уравнения: $$ 150 = 10x + 15x $$ $$ 150 = 25x $$

Отсюда находим $x$: $$ x = \frac{150}{25} = 6 $$

Следовательно, сторона ромба равна 6 см.

Ответ: 6 см.