Номер 16.16, страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.16. Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник. Плоскость, параллельная основанию конуса, проходит через центр описанной около конуса сферы. Найдите отношение площадей боковых поверхностей образовавшихся конуса и усечённого конуса.

1. Определение параметров исходного конуса.

Пусть осевым сечением конуса является равносторонний треугольник со стороной $a$. Тогда образующая конуса $l$ равна стороне этого треугольника, то есть $l=a$. Диаметр основания конуса также равен $a$, следовательно, радиус основания $R = a/2$. Высота конуса $H$ равна высоте равностороннего треугольника:

$H = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

2. Нахождение центра и радиуса описанной сферы.

Центр $O_{сф}$ сферы, описанной около конуса, лежит на его оси (высоте $H$). Радиус сферы $R_{сф}$ — это расстояние от центра $O_{сф}$ до вершины конуса и до любой точки на окружности основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом основания $R$, отрезком оси от центра сферы до основания конуса, и радиусом сферы $R_{сф}$, который является гипотенузой. Расстояние от вершины конуса до центра сферы также равно $R_{сф}$. Тогда расстояние от центра сферы до основания конуса равно $H - R_{сф}$.

По теореме Пифагора:

$R_{сф}^2 = R^2 + (H - R_{сф})^2$

Подставим известные значения $R$ и $H$:

$R_{сф}^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{2} - R_{сф})^2$

$R_{сф}^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot R_{сф} + R_{сф}^2$

$0 = a^2 - a\sqrt{3} R_{сф}$

$a\sqrt{3} R_{сф} = a^2$

$R_{сф} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

3. Определение параметров образовавшихся фигур.

Плоскость, параллельная основанию, проходит через центр сферы $O_{сф}$. Эта плоскость отсекает от исходного конуса меньший конус. Высота этого меньшего конуса $h_1$ равна расстоянию от вершины конуса до центра сферы $O_{сф}$, то есть $h_1 = R_{сф} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Меньший конус подобен исходному. Коэффициент подобия $k$ равен отношению их высот:

$k = \frac{h_1}{H} = \frac{a\sqrt{3}/3}{a\sqrt{3}/2} = \frac{2}{3}$

Площади боковых поверхностей подобных конусов относятся как квадрат коэффициента подобия. Обозначим площадь боковой поверхности исходного конуса как $S_{бок}$, а малого конуса как $S_1$.

$S_1 = k^2 \cdot S_{бок} = (\frac{2}{3})^2 \cdot S_{бок} = \frac{4}{9} S_{бок}$

Площадь боковой поверхности усечённого конуса $S_2$ равна разности площадей боковых поверхностей исходного и малого конусов:

$S_2 = S_{бок} - S_1 = S_{бок} - \frac{4}{9} S_{бок} = \frac{5}{9} S_{бок}$

4. Нахождение искомого отношения.

Требуется найти отношение площадей боковых поверхностей образовавшихся конуса (малого) и усечённого конуса.

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{4}{9} S_{бок}}{\frac{5}{9} S_{бок}} = \frac{4}{5}$

Ответ: 4/5.