Номер 16.6, страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.6. Диагональ осевого сечения цилиндра образует с высотой цилиндра угол $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если радиус шара, описанного около него, равен $R$.

Пусть $h$ — высота цилиндра, $r$ — радиус его основания. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами $h$ и $2r$. Диагональ этого прямоугольника, обозначим ее $d$, является также диаметром сферы, описанной около цилиндра.

Центр описанной сферы совпадает с центром осевого сечения (точкой пересечения его диагоналей). Радиус описанной сферы $R$ равен половине диагонали осевого сечения $d$. Таким образом, $d = 2R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой цилиндра $h$, диаметром основания $2r$ и диагональю осевого сечения $d$. В этом треугольнике $d$ является гипотенузой, а $h$ и $2r$ — катетами. По условию, угол между диагональю $d$ и высотой $h$ равен $\alpha$.

Используя тригонометрические соотношения в этом прямоугольном треугольнике, мы можем выразить катеты через гипотенузу и угол $\alpha$:
Высота $h$ является катетом, прилежащим к углу $\alpha$:
$h = d \cdot \cos(\alpha)$
Диаметр основания $2r$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$:
$2r = d \cdot \sin(\alpha)$

Подставим в эти выражения значение $d = 2R$:
$h = 2R \cos(\alpha)$
$2r = 2R \sin(\alpha)$, откуда $r = R \sin(\alpha)$

Теперь найдем площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$, которая вычисляется по формуле:
$S_{бок} = 2 \pi r h$
Подставим найденные выражения для $r$ и $h$:
$S_{бок} = 2 \pi (R \sin(\alpha)) (2R \cos(\alpha))$
$S_{бок} = 4 \pi R^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$

Используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) $, упростим полученное выражение:
$S_{бок} = 2 \pi R^2 (2 \sin(\alpha) \cos(\alpha))$
$S_{бок} = 2 \pi R^2 \sin(2\alpha)$

Ответ: $2 \pi R^2 \sin(2\alpha)$