Номер 18.9, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.9. Основание прямой призмы — равнобокая трапеция с основаниями 5 см и 11 см и диагональю 10 см. Диагональ призмы равна 26 см.

Найдите объём призмы.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдём высоту призмы H.

Призма является прямой, поэтому её боковое ребро перпендикулярно основанию. Диагональ призмы $D$, диагональ её основания $d$ и высота призмы $H$ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора имеем:

$D^2 = d^2 + H^2$

Из условия задачи известно, что диагональ призмы $D = 26$ см, а диагональ основания (трапеции) $d = 10$ см. Подставим эти значения в формулу:

$26^2 = 10^2 + H^2$

$676 = 100 + H^2$

$H^2 = 676 - 100 = 576$

$H = \sqrt{576} = 24$ см.

Таким образом, высота призмы равна 24 см.

2. Найдём площадь основания $S_{осн}$.

Основание призмы — равнобокая трапеция с основаниями $a = 11$ см и $b = 5$ см и диагональю $d = 10$ см. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $h$ — высота трапеции.

Чтобы найти высоту трапеции, проведём из вершины меньшего основания высоту к большему основанию. Пусть у нас есть трапеция ABCD, где AD = 11 см — большее основание, BC = 5 см — меньшее основание, а AC = 10 см — диагональ. Проведём высоту CH на основание AD.

В равнобокой трапеции отрезок, отсекаемый высотой от вершины большего основания, равен полуразности оснований. То есть, отрезок $HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{11 - 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Тогда отрезок $AH = AD - HD = 11 - 3 = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. В нём гипотенуза AC = 10 см, а катет AH = 8 см. По теореме Пифагора найдём второй катет CH, который является высотой трапеции $h$:

$AC^2 = AH^2 + CH^2$

$10^2 = 8^2 + h^2$

$100 = 64 + h^2$

$h^2 = 100 - 64 = 36$

$h = \sqrt{36} = 6$ см.

Теперь можем найти площадь основания (трапеции):

$S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{11+5}{2} \cdot 6 = \frac{16}{2} \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48$ см².

3. Найдём объём призмы V.

Теперь, зная площадь основания $S_{осн} = 48$ см² и высоту призмы $H = 24$ см, мы можем вычислить её объём:

$V = S_{осн} \cdot H = 48 \cdot 24 = 1152$ см³.

Ответ: $1152$ см³.