Страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.11. Основанием наклонной призмы является треугольник со сторонами $4\sqrt{3}$ см и 5 см и углом $120^\circ$ между ними. Боковое ребро призмы равно 20 см и образует с высотой призмы угол $60^\circ$. Найдите объём призмы.

Объём наклонной призмы вычисляется по формуле: $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ - площадь основания, а $H$ - высота призмы.

1. Найдем площадь основания призмы ($S_{осн}$)

Основанием является треугольник со сторонами $4\sqrt{3}$ см и 5 см и углом $120^\circ$ между ними. Площадь такого треугольника можно найти по формуле:

$S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma)$

где $a$ и $b$ - стороны треугольника, а $\gamma$ - угол между ними.

Подставим известные значения:

$a = 4\sqrt{3}$ см

$b = 5$ см

$\gamma = 120^\circ$

Значение синуса угла $120^\circ$ равно $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Вычисляем площадь основания:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 5 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 2} = \frac{20 \cdot 3}{4} = 15$ см$^2$.

2. Найдем высоту призмы ($H$)

Боковое ребро призмы ($L$), её высота ($H$) и проекция бокового ребра на плоскость основания образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике боковое ребро является гипотенузой, а высота — катетом.

По условию, боковое ребро $L = 20$ см, и оно образует с высотой $H$ угол $60^\circ$. Таким образом, высота $H$ является катетом, прилежащим к углу $60^\circ$.

Связь между гипотенузой, прилежащим катетом и углом выражается через косинус:

$H = L \cdot \cos(60^\circ)$

Подставим значения:

$H = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10$ см.

3. Найдем объём призмы ($V$)

Теперь, зная площадь основания и высоту, вычислим объём призмы:

$V = S_{осн} \cdot H = 15 \cdot 10 = 150$ см$^3$.

Ответ: 150 см$^3$.