Страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.12. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна $12 \text{ см}$ и образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Угол между диагональю основания и одной из его сторон равен $60^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a$, $b$ (стороны основания) и $h$ (высота). Обозначим диагональ параллелепипеда как $D$, а диагональ основания как $d$.

По условию, диагональ параллелепипеда $D = 12$ см. Угол между диагональю $D$ и плоскостью основания – это угол между самой диагональю и ее проекцией на эту плоскость, то есть диагональю основания $d$. Этот угол равен $30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю параллелепипеда $D$ (гипотенуза), высотой $h$ (катет) и диагональю основания $d$ (катет). Из этого треугольника находим высоту $h$ и диагональ основания $d$:
$h = D \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.
$d = D \cdot \cos(30^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим основание параллелепипеда. Это прямоугольник со сторонами $a$ и $b$ и диагональю $d$. По условию, угол между диагональю основания $d$ и одной из его сторон (пусть это будет сторона $a$) равен $60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю основания $d$ (гипотенуза) и сторонами основания $a$ и $b$ (катеты). Из этого треугольника находим стороны основания $a$ и $b$:
$a = d \cdot \cos(60^\circ) = 6\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 3\sqrt{3}$ см.
$b = d \cdot \sin(60^\circ) = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9$ см.

Теперь, зная все три измерения параллелепипеда ($a$, $b$ и $h$), можем найти его объём $V$ по формуле:
$V = a \cdot b \cdot h$
$V = 3\sqrt{3} \cdot 9 \cdot 6 = 162\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $162\sqrt{3}$ см³.

18.13. Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна $d$ и образует с плоскостью боковой грани угол $\alpha$. Найдите объём призмы.

Пусть дана правильная четырёхугольная призма, в основании которой лежит квадрат со стороной $a$, а высота призмы равна $h$. Объём призмы $V$ вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h = a^2h$.

Обозначим вершины призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Пусть $A_1C$ — диагональ призмы, длина которой по условию равна $d$.

Рассмотрим угол между диагональю $A_1C$ и плоскостью боковой грани, например, гранью $CDD_1C_1$. Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Для нахождения проекции диагонали $A_1C$ на плоскость $(CDD_1C_1)$, необходимо опустить перпендикуляр из точки $A_1$ на эту плоскость. Так как призма правильная (а значит, прямая), то боковые грани перпендикулярны основаниям. Ребро $A_1D_1$ перпендикулярно ребру $D_1D$. Кроме того, в основании лежит квадрат, поэтому $A_1D_1 \perp D_1C_1$. Следовательно, ребро $A_1D_1$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым в плоскости $(CDD_1C_1)$, а значит, и всей этой плоскости.

Таким образом, точка $D_1$ является проекцией точки $A_1$ на плоскость $(CDD_1C_1)$. Точка $C$ уже лежит в этой плоскости. Значит, отрезок $D_1C$ является проекцией диагонали $A_1C$ на плоскость боковой грани $(CDD_1C_1)$.

Угол между диагональю $A_1C$ и её проекцией $D_1C$ по условию равен $\alpha$. Таким образом, $\angle A_1CD_1 = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $\triangle A_1D_1C$. Он является прямоугольным, так как $A_1D_1 \perp (CDD_1C_1)$, а значит, $A_1D_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $D_1C$. Итак, $\angle A_1D_1C = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle A_1D_1C$:

• Гипотенуза $A_1C = d$.
• Катет $A_1D_1$ равен стороне основания призмы $a$.
• Катет $D_1C$ является диагональю боковой грани $CDD_1C_1$.

Из соотношений в этом треугольнике найдём $a$ и диагональ боковой грани:

$A_1D_1 = A_1C \cdot \sin(\alpha) \implies a = d \sin(\alpha)$.

$D_1C = A_1C \cdot \cos(\alpha) \implies D_1C = d \cos(\alpha)$.

Теперь рассмотрим боковую грань $CDD_1C_1$, которая является прямоугольником. Диагональ $D_1C$ связана с его сторонами $CD=a$ и $DD_1=h$ по теореме Пифагора для треугольника $\triangle D_1DC$:

$D_1C^2 = CD^2 + DD_1^2$

Подставим известные выражения для $D_1C$ и $CD=a$:

$(d \cos(\alpha))^2 = (d \sin(\alpha))^2 + h^2$

$d^2 \cos^2(\alpha) = d^2 \sin^2(\alpha) + h^2$

Выразим отсюда $h^2$:

$h^2 = d^2 \cos^2(\alpha) - d^2 \sin^2(\alpha) = d^2(\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha))$

Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$, получаем:

$h^2 = d^2 \cos(2\alpha) \implies h = d \sqrt{\cos(2\alpha)}$

Теперь мы можем найти объём призмы:

$V = a^2 h = (d \sin(\alpha))^2 \cdot (d \sqrt{\cos(2\alpha)}) = d^2 \sin^2(\alpha) \cdot d \sqrt{\cos(2\alpha)} = d^3 \sin^2(\alpha) \sqrt{\cos(2\alpha)}$

Ответ: $d^3 \sin^2(\alpha) \sqrt{\cos(2\alpha)}$

18.14. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна $d$ и образует с плоскостью основания угол $\alpha$, а с плоскостью боковой грани – угол $\beta$. Найдите объём призмы.

Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда (призмы) как $a, b, c$. Его объём $V$ равен произведению этих измерений: $V = a \cdot b \cdot c$.

Пусть $c$ — высота параллелепипеда. Диагональ $d$, её проекция на основание и высота $c$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю $d$ и её проекцией на плоскость основания по условию равен $\alpha$. В этом треугольнике высота $c$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$. Таким образом, мы можем выразить $c$ через $d$ и $\alpha$:
$c = d \sin(\alpha)$

Теперь рассмотрим угол $\beta$ между диагональю $d$ и плоскостью боковой грани. Пусть эта грань имеет размеры $b$ и $c$. Тогда ребро $a$ перпендикулярно этой грани. Диагональ $d$, её проекция на эту боковую грань и ребро $a$ образуют другой прямоугольный треугольник. В этом треугольнике ребро $a$ является катетом, противолежащим углу $\beta$. Следовательно:
$a = d \sin(\beta)$

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$. Мы уже нашли выражения для $a$ и $c$, подставим их в эту формулу, чтобы найти $b$:
$d^2 = (d \sin(\beta))^2 + b^2 + (d \sin(\alpha))^2$
$d^2 = d^2 \sin^2(\beta) + b^2 + d^2 \sin^2(\alpha)$
$b^2 = d^2 - d^2 \sin^2(\alpha) - d^2 \sin^2(\beta)$
$b^2 = d^2(1 - \sin^2(\alpha) - \sin^2(\beta))$
Используя основное тригонометрическое тождество $1 - \sin^2(\alpha) = \cos^2(\alpha)$, получаем:
$b^2 = d^2(\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta))$
Откуда $b = d \sqrt{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta)}$.

Теперь, имея выражения для всех трех измерений, мы можем найти объем призмы:
$V = a \cdot b \cdot c = (d \sin(\beta)) \cdot (d \sqrt{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta)}) \cdot (d \sin(\alpha))$
$V = d^3 \sin(\alpha) \sin(\beta) \sqrt{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta)}$

Ответ: $V = d^3 \sin(\alpha) \sin(\beta) \sqrt{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta)}$.

18.15. Найдите объём правильной шестиугольной призмы$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, если её диагонали $A_1D$ и $A_1E$ равны соответственно 13 см и 12 см.

Объём правильной призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

В основании правильной шестиугольной призмы лежит правильный шестиугольник. Обозначим сторону основания как $a$, а высоту призмы (длину бокового ребра) как $h$.

Рассмотрим диагональ призмы $A_1D$. Она является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $AA_1D$, где катеты — это высота призмы $AA_1 = h$ и большая диагональ основания $AD$. Большая диагональ правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $AD = 2a$. По теореме Пифагора:

$A_1D^2 = AA_1^2 + AD^2$

Подставим известные значения $A_1D = 13$ см:

$13^2 = h^2 + (2a)^2$

$169 = h^2 + 4a^2$ (1)

Теперь рассмотрим диагональ призмы $A_1E$. Она является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $AA_1E$, где катеты — это высота призмы $AA_1 = h$ и меньшая диагональ основания $AE$. Длину меньшей диагонали правильного шестиугольника можно найти, например, по теореме косинусов из треугольника $AFE$, где $AF = FE = a$, а угол между ними $\angle F = 120^\circ$:

$AE^2 = AF^2 + FE^2 - 2 \cdot AF \cdot FE \cdot \cos(120^\circ) = a^2 + a^2 - 2a^2(-\frac{1}{2}) = 2a^2 + a^2 = 3a^2$.

Таким образом, $AE = a\sqrt{3}$.

Применим теорему Пифагора для треугольника $AA_1E$:

$A_1E^2 = AA_1^2 + AE^2$

Подставим известные значения $A_1E = 12$ см:

$12^2 = h^2 + 3a^2$

$144 = h^2 + 3a^2$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $a^2$ и $h^2$:

$\begin{cases} h^2 + 4a^2 = 169 \\ h^2 + 3a^2 = 144 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(h^2 + 4a^2) - (h^2 + 3a^2) = 169 - 144$

$a^2 = 25$

Отсюда сторона основания $a = 5$ см.

Подставим значение $a^2 = 25$ во второе уравнение, чтобы найти $h^2$:

$h^2 + 3 \cdot 25 = 144$

$h^2 + 75 = 144$

$h^2 = 144 - 75 = 69$

Отсюда высота призмы $h = \sqrt{69}$ см.

Площадь основания (правильного шестиугольника) вычисляется по формуле $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$. Подставим $a^2 = 25$:

$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 25 = \frac{75\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

Наконец, найдем объём призмы:

$V = S_{осн} \cdot h = \frac{75\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{69} = \frac{75\sqrt{3 \cdot 69}}{2} = \frac{75\sqrt{207}}{2}$

Разложим подкоренное выражение на множители: $207 = 9 \cdot 23$.

$V = \frac{75\sqrt{9 \cdot 23}}{2} = \frac{75 \cdot 3\sqrt{23}}{2} = \frac{225\sqrt{23}}{2}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{225\sqrt{23}}{2}$ см$^3$.

18.16. Основанием прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является ромб $ABCD$. Известно, что $\angle BAD = \alpha$, $AC = d$. Через прямую $BD$ и точку $C_1$ проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите объём призмы.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

1. Найдём площадь основания призмы.

Основанием призмы является ромб $ABCD$ с острым углом $\angle BAD = \alpha$ и диагональю $AC = d$. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} AC \cdot BD$.

Диагонали ромба в точке пересечения $O$ делятся пополам, взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOB$ (где $\angle AOB = 90^\circ$).

В этом треугольнике катет $AO$ равен половине диагонали $AC$: $AO = \frac{AC}{2} = \frac{d}{2}$.

Угол $\angle BAO$ равен половине угла $\angle BAD$: $\angle BAO = \frac{\alpha}{2}$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике найдём катет $BO$:

$\tan(\angle BAO) = \frac{BO}{AO} \implies BO = AO \cdot \tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{d}{2} \tan(\frac{\alpha}{2})$.

Диагональ $BD$ вдвое больше отрезка $BO$:

$BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot \frac{d}{2} \tan(\frac{\alpha}{2}) = d \tan(\frac{\alpha}{2})$.

Теперь можем вычислить площадь основания:

$S_{осн} = S_{ABCD} = \frac{1}{2} AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot d \cdot d \tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{d^2}{2} \tan(\frac{\alpha}{2})$.

2. Найдём высоту призмы.

Высота прямой призмы $h$ равна длине её бокового ребра, например, $h = CC_1$.

По условию, плоскость, проходящая через прямую $BD$ и точку $C_1$, образует с плоскостью основания угол $\beta$. Линией пересечения этих двух плоскостей, $(BDC_1)$ и $(ABC)$, является прямая $BD$.

Угол между двумя плоскостями — это угол между перпендикулярами, проведёнными к их линии пересечения в одной точке.

В плоскости основания $(ABC)$ проведём перпендикуляр к $BD$ из точки $C$. Так как диагонали ромба перпендикулярны, то $CO \perp BD$.

Призма прямая, значит $CC_1 \perp (ABC)$. Проекцией наклонной $C_1O$ на плоскость основания является отрезок $CO$. По теореме о трёх перпендикулярах, так как $CO \perp BD$, то и наклонная $C_1O \perp BD$.

Следовательно, угол $\angle C_1OC$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью $(BDC_1)$ и плоскостью основания $(ABC)$. По условию, $\angle C_1OC = \beta$.

Рассмотрим треугольник $\triangle C_1OC$. Так как призма прямая, ребро $CC_1$ перпендикулярно основанию, а значит, и любой прямой в основании, т.е. $CC_1 \perp CO$. Таким образом, $\triangle C_1OC$ — прямоугольный.

В этом треугольнике катет $CO$ равен половине диагонали $AC$: $CO = \frac{AC}{2} = \frac{d}{2}$.

Высота призмы $h = CC_1$ является другим катетом. Найдём её из соотношения:

$\tan(\angle C_1OC) = \frac{CC_1}{CO} \implies \tan(\beta) = \frac{h}{d/2}$.

Отсюда $h = \frac{d}{2} \tan(\beta)$.

3. Вычислим объём призмы.

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объёма:

$V = S_{осн} \cdot h = \left( \frac{d^2}{2} \tan(\frac{\alpha}{2}) \right) \cdot \left( \frac{d}{2} \tan(\beta) \right) = \frac{d^3}{4} \tan(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)$.

Ответ: $V = \frac{d^3}{4} \tan\frac{\alpha}{2} \tan\beta$.

18.17. Основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ является треугольник $ABC$. Известно, что $\angle ACB = 90^\circ$, $\angle ABC = \beta$, $AB = c$. Плоскость $A_1BC$ образует с плоскостью основания призмы угол $\alpha$. Найдите объём призмы.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы. Найдём эти величины.

Основанием призмы является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $\angle ACB = 90^\circ$, гипотенузой $AB = c$ и углом $\angle ABC = \beta$. Найдём катеты этого треугольника с помощью тригонометрических соотношений:

$AC = AB \cdot \sin(\angle ABC) = c \sin\beta$

$BC = AB \cdot \cos(\angle ABC) = c \cos\beta$

Площадь основания призмы $S_{осн}$ равна площади треугольника $ABC$ и вычисляется как половина произведения катетов:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} (c \sin\beta)(c \cos\beta) = \frac{1}{2} c^2 \sin\beta \cos\beta$.

Высота прямой призмы $H$ равна её боковому ребру, то есть $H = AA_1$. Угол $\alpha$ между плоскостью сечения $A_1BC$ и плоскостью основания $ABC$ является двугранным углом при ребре $BC$. Для определения его линейного угла воспользуемся тем, что в основании катет $AC$ перпендикулярен катету $BC$ ($AC \perp BC$).

Так как призма прямая, её боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, отрезок $AC$ является проекцией наклонной $A_1C$ на эту плоскость. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($AC$) перпендикулярна прямой на плоскости ($BC$), то и сама наклонная ($A_1C$) перпендикулярна этой прямой. Отсюда следует, что $A_1C \perp BC$.

Таким образом, угол между прямыми $AC$ и $A_1C$ является линейным углом данного двугранного угла, то есть $\angle A_1CA = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AC$ (угол $\angle A_1AC = 90^\circ$, так как $AA_1$ перпендикулярно основанию). Из него найдём высоту $H = AA_1$:

$\tan(\angle A_1CA) = \frac{AA_1}{AC} \Rightarrow \tan\alpha = \frac{H}{AC}$

Отсюда $H = AC \cdot \tan\alpha = c \sin\beta \tan\alpha$.

Теперь, зная площадь основания и высоту, можем вычислить объём призмы:

$V = S_{осн} \cdot H = \left(\frac{1}{2} c^2 \sin\beta \cos\beta\right) \cdot (c \sin\beta \tan\alpha)$

Упростив выражение, получим итоговую формулу:

$V = \frac{1}{2} c^3 \sin^2\beta \cos\beta \tan\alpha$.

Ответ: $V = \frac{1}{2} c^3 \sin^2\beta \cos\beta \tan\alpha$.

18.18. Площади трёх граней прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, равны $S_1$, $S_2$ и $S_3$. Найдите объём параллелепипеда.

Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда (длину, ширину и высоту) как $a$, $b$ и $c$.

Три грани, сходящиеся в одной вершине, имеют рёбра, соответствующие этим трём измерениям. Площади этих граней представляют собой произведения пар измерений:

$S_1 = a \cdot b$

$S_2 = b \cdot c$

$S_3 = a \cdot c$

Объём $V$ прямоугольного параллелепипеда вычисляется как произведение трёх его измерений:

$V = a \cdot b \cdot c$

Чтобы выразить объём через известные площади, перемножим выражения для площадей $S_1$, $S_2$ и $S_3$:

$S_1 \cdot S_2 \cdot S_3 = (a \cdot b) \cdot (b \cdot c) \cdot (a \cdot c)$

Сгруппируем множители в правой части равенства:

$S_1 S_2 S_3 = a^2 b^2 c^2 = (abc)^2$

Поскольку объём $V = abc$, мы можем подставить $V$ в полученное уравнение:

$S_1 S_2 S_3 = V^2$

Чтобы найти объём $V$, извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как объём и площади являются положительными величинами, мы рассматриваем только положительное значение корня.

$V = \sqrt{S_1 S_2 S_3}$

Ответ: $V = \sqrt{S_1 S_2 S_3}$

18.19. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, площадь которого равна $S$. Площади диагональных сечений параллелепипеда равны $S_1$ и $S_2$. Найдите объём параллелепипеда.

Пусть дан прямой параллелепипед, в основании которого лежит ромб. Обозначим высоту параллелепипеда как $h$, а диагонали ромба в основании как $d_1$ и $d_2$.

По условию, площадь основания (ромба) равна $S$. Площадь ромба выражается через его диагонали по формуле:
$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$

Диагональные сечения прямого параллелепипеда являются прямоугольниками. Их стороны — это диагонали основания ($d_1$ и $d_2$) и высота параллелепипеда $h$. Площади этих сечений, по условию, равны $S_1$ и $S_2$. Таким образом, мы можем записать:
$S_1 = d_1 \cdot h$
$S_2 = d_2 \cdot h$

Объём $V$ параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту:
$V = S \cdot h$

Чтобы найти объём, необходимо выразить высоту $h$ через заданные площади $S$, $S_1$ и $S_2$. Для этого из выражений для площадей диагональных сечений выразим $d_1$ и $d_2$:
$d_1 = \frac{S_1}{h}$
$d_2 = \frac{S_2}{h}$

Подставим полученные выражения в формулу для площади ромба:
$S = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{S_1}{h}\right) \cdot \left(\frac{S_2}{h}\right) = \frac{S_1 S_2}{2h^2}$

Из этого равенства найдём $h^2$:
$2Sh^2 = S_1 S_2 \implies h^2 = \frac{S_1 S_2}{2S}$

Тогда высота $h$ равна:
$h = \sqrt{\frac{S_1 S_2}{2S}}$

Теперь можно вычислить объём параллелепипеда, подставив найденное выражение для $h$ в формулу объёма:
$V = S \cdot h = S \cdot \sqrt{\frac{S_1 S_2}{2S}}$

Упростим полученное выражение, внеся множитель $S$ под знак корня (предварительно возведя его в квадрат):
$V = \sqrt{S^2 \cdot \frac{S_1 S_2}{2S}} = \sqrt{\frac{S^2 S_1 S_2}{2S}} = \sqrt{\frac{S S_1 S_2}{2}}$

Ответ: $V = \sqrt{\frac{S S_1 S_2}{2}}$

18.20. Боковое ребро наклонной треугольной призмы равно 20 см, а расстояние между параллельными прямыми, содержащими рёбра призмы, равны 17 см, 25 см и 26 см. Найдите объём призмы.

Объём наклонной призмы $V$ вычисляется по формуле $V = S_{\perp} \cdot L$, где $L$ — длина бокового ребра, а $S_{\perp}$ — площадь перпендикулярного сечения. Из условия задачи известно, что длина бокового ребра $L = 20$ см.

Перпендикулярное сечение — это сечение призмы плоскостью, перпендикулярной её боковым рёбрам. В данном случае это треугольник. Расстояния между параллельными прямыми, на которых лежат боковые рёбра, равны сторонам этого треугольника. Таким образом, мы имеем треугольник со сторонами $a = 17$ см, $b = 25$ см и $c = 26$ см.

Для нахождения площади этого треугольника ($S_{\perp}$) воспользуемся формулой Герона. Сначала найдём полупериметр $p$ треугольника:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{17+25+26}{2} = \frac{68}{2} = 34$ см.
Теперь вычислим площадь перпендикулярного сечения:
$S_{\perp} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{34(34-17)(34-25)(34-26)}$
$S_{\perp} = \sqrt{34 \cdot 17 \cdot 9 \cdot 8} = \sqrt{(2 \cdot 17) \cdot 17 \cdot 3^2 \cdot (2^3)} = \sqrt{17^2 \cdot 3^2 \cdot 2^4}$
$S_{\perp} = 17 \cdot 3 \cdot 2^2 = 17 \cdot 3 \cdot 4 = 204$ см$^2$.

Зная площадь перпендикулярного сечения и длину бокового ребра, можем найти объём призмы:
$V = S_{\perp} \cdot L = 204 \text{ см}^2 \cdot 20 \text{ см} = 4080$ см$^3$.

Ответ: $4080$ см$^3$.

18.21. Боковое ребро наклонного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 8 см, расстояние между прямыми $AA_1$ и $BB_1$ — $5\sqrt{3}$ см, между прямыми $AA_1$ и $DD_1$ — 4 см, а двугранный угол параллелепипеда при ребре $AA_1$ равен $60^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Объём наклонного параллелепипеда $V$ можно вычислить по формуле $V = S_{\text{перп}} \cdot L$, где $L$ — длина бокового ребра, а $S_{\text{перп}}$ — площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру.

Определение параметров перпендикулярного сечения

Рассмотрим сечение параллелепипеда плоскостью, перпендикулярной боковым рёбрам (например, ребру $AA_1$). Такое сечение называется перпендикулярным сечением. Пусть оно представляет собой параллелограмм $KLMN$. Стороны этого параллелограмма и угол между ними определяются из условий задачи.

Длина бокового ребра дана: $L = AA_1 = 8$ см.

Расстояние между параллельными боковыми рёбрами $AA_1$ и $BB_1$ равно длине стороны перпендикулярного сечения, соединяющей эти рёбра. Обозначим эту сторону $KL$. Таким образом, $KL = 5\sqrt{3}$ см.

Аналогично, расстояние между рёбрами $AA_1$ и $DD_1$ равно длине смежной стороны перпендикулярного сечения $KN$. Таким образом, $KN = 4$ см.

Двугранный угол при ребре $AA_1$ измеряется линейным углом, образованным лучами, перпендикулярными этому ребру и лежащими в гранях. В нашем случае это угол $\angle LKN$ в плоскости перпендикулярного сечения, так как $KL \perp AA_1$ и $KN \perp AA_1$. Таким образом, $\angle LKN = 60^\circ$.

Вычисление площади перпендикулярного сечения

Площадь перпендикулярного сечения, которое является параллелограммом $KLMN$, находится по формуле $S = a \cdot b \cdot \sin\gamma$, где $a$ и $b$ — смежные стороны, а $\gamma$ — угол между ними.

$S_{\text{перп}} = KL \cdot KN \cdot \sin(\angle LKN) = 5\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \sin(60^\circ)$.

Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, подставляем это значение в формулу:

$S_{\text{перп}} = 5\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20 \cdot \frac{(\sqrt{3})^2}{2} = 20 \cdot \frac{3}{2} = 30$ см$^2$.

Вычисление объёма параллелепипеда

Теперь, зная площадь перпендикулярного сечения и длину бокового ребра, находим объём параллелепипеда:

$V = S_{\text{перп}} \cdot L = 30 \text{ см}^2 \cdot 8 \text{ см} = 240 \text{ см}^3$.

Ответ: $240 \text{ см}^3$.

18.22. Основанием наклонной призмы $ABCA_1B_1C_1$ является равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. Вершина $A_1$ призмы равноудалена от вершин треугольника $ABC$, а угол между ребром $AA_1$ и плоскостью основания равен $\alpha$. Найдите объём призмы.

Объем призмы $V$ вычисляется по формуле: $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдем площадь основания.

Основанием призмы является равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. Площадь равностороннего треугольника находится по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

2. Найдем высоту призмы.

Пусть $O$ — проекция вершины $A_1$ на плоскость основания $ABC$. Тогда отрезок $A_1O$ является высотой призмы, то есть $H = A_1O$.

По условию, вершина $A_1$ равноудалена от вершин треугольника $ABC$, то есть $A_1A = A_1B = A_1C$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle A_1OA$, $\triangle A_1OB$ и $\triangle A_1OC$. Они имеют общий катет $A_1O$ и равные гипотенузы. Следовательно, эти треугольники равны, и их вторые катеты также равны: $OA = OB = OC$. Это означает, что точка $O$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Для равностороннего треугольника $ABC$ со стороной $a$ радиус описанной окружности $R$ равен:

$R = OA = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Угол между боковым ребром $AA_1$ и плоскостью основания — это угол между наклонной $AA_1$ и ее проекцией $AO$ на эту плоскость. По условию, этот угол равен $\alpha$, то есть $\angle A_1AO = \alpha$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle A_1OA$ высота $H = A_1O$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$. Выразим его через известный катет $AO$:

$H = A_1O = AO \cdot \tan(\angle A_1AO) = R \cdot \tan(\alpha) = \frac{a}{\sqrt{3}} \tan(\alpha)$

3. Найдем объем призмы.

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объема:

$V = S_{осн} \cdot H = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a \tan(\alpha)}{\sqrt{3}}$

Сократив $\sqrt{3}$, получаем окончательный результат:

$V = \frac{a^3 \tan(\alpha)}{4}$

Ответ: $V = \frac{a^3 \tan(\alpha)}{4}$.