Номер 18.16, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.16. Основанием прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является ромб $ABCD$. Известно, что $\angle BAD = \alpha$, $AC = d$. Через прямую $BD$ и точку $C_1$ проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите объём призмы.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

1. Найдём площадь основания призмы.

Основанием призмы является ромб $ABCD$ с острым углом $\angle BAD = \alpha$ и диагональю $AC = d$. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} AC \cdot BD$.

Диагонали ромба в точке пересечения $O$ делятся пополам, взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOB$ (где $\angle AOB = 90^\circ$).

В этом треугольнике катет $AO$ равен половине диагонали $AC$: $AO = \frac{AC}{2} = \frac{d}{2}$.

Угол $\angle BAO$ равен половине угла $\angle BAD$: $\angle BAO = \frac{\alpha}{2}$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике найдём катет $BO$:

$\tan(\angle BAO) = \frac{BO}{AO} \implies BO = AO \cdot \tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{d}{2} \tan(\frac{\alpha}{2})$.

Диагональ $BD$ вдвое больше отрезка $BO$:

$BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot \frac{d}{2} \tan(\frac{\alpha}{2}) = d \tan(\frac{\alpha}{2})$.

Теперь можем вычислить площадь основания:

$S_{осн} = S_{ABCD} = \frac{1}{2} AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot d \cdot d \tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{d^2}{2} \tan(\frac{\alpha}{2})$.

2. Найдём высоту призмы.

Высота прямой призмы $h$ равна длине её бокового ребра, например, $h = CC_1$.

По условию, плоскость, проходящая через прямую $BD$ и точку $C_1$, образует с плоскостью основания угол $\beta$. Линией пересечения этих двух плоскостей, $(BDC_1)$ и $(ABC)$, является прямая $BD$.

Угол между двумя плоскостями — это угол между перпендикулярами, проведёнными к их линии пересечения в одной точке.

В плоскости основания $(ABC)$ проведём перпендикуляр к $BD$ из точки $C$. Так как диагонали ромба перпендикулярны, то $CO \perp BD$.

Призма прямая, значит $CC_1 \perp (ABC)$. Проекцией наклонной $C_1O$ на плоскость основания является отрезок $CO$. По теореме о трёх перпендикулярах, так как $CO \perp BD$, то и наклонная $C_1O \perp BD$.

Следовательно, угол $\angle C_1OC$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью $(BDC_1)$ и плоскостью основания $(ABC)$. По условию, $\angle C_1OC = \beta$.

Рассмотрим треугольник $\triangle C_1OC$. Так как призма прямая, ребро $CC_1$ перпендикулярно основанию, а значит, и любой прямой в основании, т.е. $CC_1 \perp CO$. Таким образом, $\triangle C_1OC$ — прямоугольный.

В этом треугольнике катет $CO$ равен половине диагонали $AC$: $CO = \frac{AC}{2} = \frac{d}{2}$.

Высота призмы $h = CC_1$ является другим катетом. Найдём её из соотношения:

$\tan(\angle C_1OC) = \frac{CC_1}{CO} \implies \tan(\beta) = \frac{h}{d/2}$.

Отсюда $h = \frac{d}{2} \tan(\beta)$.

3. Вычислим объём призмы.

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объёма:

$V = S_{осн} \cdot h = \left( \frac{d^2}{2} \tan(\frac{\alpha}{2}) \right) \cdot \left( \frac{d}{2} \tan(\beta) \right) = \frac{d^3}{4} \tan(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)$.

Ответ: $V = \frac{d^3}{4} \tan\frac{\alpha}{2} \tan\beta$.