Номер 18.12, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.12. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна $12 \text{ см}$ и образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Угол между диагональю основания и одной из его сторон равен $60^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a$, $b$ (стороны основания) и $h$ (высота). Обозначим диагональ параллелепипеда как $D$, а диагональ основания как $d$.

По условию, диагональ параллелепипеда $D = 12$ см. Угол между диагональю $D$ и плоскостью основания – это угол между самой диагональю и ее проекцией на эту плоскость, то есть диагональю основания $d$. Этот угол равен $30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю параллелепипеда $D$ (гипотенуза), высотой $h$ (катет) и диагональю основания $d$ (катет). Из этого треугольника находим высоту $h$ и диагональ основания $d$:
$h = D \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.
$d = D \cdot \cos(30^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим основание параллелепипеда. Это прямоугольник со сторонами $a$ и $b$ и диагональю $d$. По условию, угол между диагональю основания $d$ и одной из его сторон (пусть это будет сторона $a$) равен $60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю основания $d$ (гипотенуза) и сторонами основания $a$ и $b$ (катеты). Из этого треугольника находим стороны основания $a$ и $b$:
$a = d \cdot \cos(60^\circ) = 6\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 3\sqrt{3}$ см.
$b = d \cdot \sin(60^\circ) = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9$ см.

Теперь, зная все три измерения параллелепипеда ($a$, $b$ и $h$), можем найти его объём $V$ по формуле:
$V = a \cdot b \cdot h$
$V = 3\sqrt{3} \cdot 9 \cdot 6 = 162\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $162\sqrt{3}$ см³.