Номер 18.13, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 18. Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 18.13, страница 174.

Условие.

18.13. Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна $d$ и образует с плоскостью боковой грани угол $\alpha$. Найдите объём призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана правильная четырёхугольная призма, в основании которой лежит квадрат со стороной $a$, а высота призмы равна $h$. Объём призмы $V$ вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h = a^2h$.

Обозначим вершины призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Пусть $A_1C$ — диагональ призмы, длина которой по условию равна $d$.

Рассмотрим угол между диагональю $A_1C$ и плоскостью боковой грани, например, гранью $CDD_1C_1$. Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Для нахождения проекции диагонали $A_1C$ на плоскость $(CDD_1C_1)$, необходимо опустить перпендикуляр из точки $A_1$ на эту плоскость. Так как призма правильная (а значит, прямая), то боковые грани перпендикулярны основаниям. Ребро $A_1D_1$ перпендикулярно ребру $D_1D$. Кроме того, в основании лежит квадрат, поэтому $A_1D_1 \perp D_1C_1$. Следовательно, ребро $A_1D_1$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым в плоскости $(CDD_1C_1)$, а значит, и всей этой плоскости.

Таким образом, точка $D_1$ является проекцией точки $A_1$ на плоскость $(CDD_1C_1)$. Точка $C$ уже лежит в этой плоскости. Значит, отрезок $D_1C$ является проекцией диагонали $A_1C$ на плоскость боковой грани $(CDD_1C_1)$.

Угол между диагональю $A_1C$ и её проекцией $D_1C$ по условию равен $\alpha$. Таким образом, $\angle A_1CD_1 = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $\triangle A_1D_1C$. Он является прямоугольным, так как $A_1D_1 \perp (CDD_1C_1)$, а значит, $A_1D_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $D_1C$. Итак, $\angle A_1D_1C = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle A_1D_1C$:

• Гипотенуза $A_1C = d$.
• Катет $A_1D_1$ равен стороне основания призмы $a$.
• Катет $D_1C$ является диагональю боковой грани $CDD_1C_1$.

Из соотношений в этом треугольнике найдём $a$ и диагональ боковой грани:

$A_1D_1 = A_1C \cdot \sin(\alpha) \implies a = d \sin(\alpha)$.

$D_1C = A_1C \cdot \cos(\alpha) \implies D_1C = d \cos(\alpha)$.

Теперь рассмотрим боковую грань $CDD_1C_1$, которая является прямоугольником. Диагональ $D_1C$ связана с его сторонами $CD=a$ и $DD_1=h$ по теореме Пифагора для треугольника $\triangle D_1DC$:

$D_1C^2 = CD^2 + DD_1^2$

Подставим известные выражения для $D_1C$ и $CD=a$:

$(d \cos(\alpha))^2 = (d \sin(\alpha))^2 + h^2$

$d^2 \cos^2(\alpha) = d^2 \sin^2(\alpha) + h^2$

Выразим отсюда $h^2$:

$h^2 = d^2 \cos^2(\alpha) - d^2 \sin^2(\alpha) = d^2(\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha))$

Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$, получаем:

$h^2 = d^2 \cos(2\alpha) \implies h = d \sqrt{\cos(2\alpha)}$

Теперь мы можем найти объём призмы:

$V = a^2 h = (d \sin(\alpha))^2 \cdot (d \sqrt{\cos(2\alpha)}) = d^2 \sin^2(\alpha) \cdot d \sqrt{\cos(2\alpha)} = d^3 \sin^2(\alpha) \sqrt{\cos(2\alpha)}$

Ответ: $d^3 \sin^2(\alpha) \sqrt{\cos(2\alpha)}$