Номер 18.15, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.15. Найдите объём правильной шестиугольной призмы$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, если её диагонали $A_1D$ и $A_1E$ равны соответственно 13 см и 12 см.

Объём правильной призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

В основании правильной шестиугольной призмы лежит правильный шестиугольник. Обозначим сторону основания как $a$, а высоту призмы (длину бокового ребра) как $h$.

Рассмотрим диагональ призмы $A_1D$. Она является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $AA_1D$, где катеты — это высота призмы $AA_1 = h$ и большая диагональ основания $AD$. Большая диагональ правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $AD = 2a$. По теореме Пифагора:

$A_1D^2 = AA_1^2 + AD^2$

Подставим известные значения $A_1D = 13$ см:

$13^2 = h^2 + (2a)^2$

$169 = h^2 + 4a^2$ (1)

Теперь рассмотрим диагональ призмы $A_1E$. Она является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $AA_1E$, где катеты — это высота призмы $AA_1 = h$ и меньшая диагональ основания $AE$. Длину меньшей диагонали правильного шестиугольника можно найти, например, по теореме косинусов из треугольника $AFE$, где $AF = FE = a$, а угол между ними $\angle F = 120^\circ$:

$AE^2 = AF^2 + FE^2 - 2 \cdot AF \cdot FE \cdot \cos(120^\circ) = a^2 + a^2 - 2a^2(-\frac{1}{2}) = 2a^2 + a^2 = 3a^2$.

Таким образом, $AE = a\sqrt{3}$.

Применим теорему Пифагора для треугольника $AA_1E$:

$A_1E^2 = AA_1^2 + AE^2$

Подставим известные значения $A_1E = 12$ см:

$12^2 = h^2 + 3a^2$

$144 = h^2 + 3a^2$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $a^2$ и $h^2$:

$\begin{cases} h^2 + 4a^2 = 169 \\ h^2 + 3a^2 = 144 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(h^2 + 4a^2) - (h^2 + 3a^2) = 169 - 144$

$a^2 = 25$

Отсюда сторона основания $a = 5$ см.

Подставим значение $a^2 = 25$ во второе уравнение, чтобы найти $h^2$:

$h^2 + 3 \cdot 25 = 144$

$h^2 + 75 = 144$

$h^2 = 144 - 75 = 69$

Отсюда высота призмы $h = \sqrt{69}$ см.

Площадь основания (правильного шестиугольника) вычисляется по формуле $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$. Подставим $a^2 = 25$:

$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 25 = \frac{75\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

Наконец, найдем объём призмы:

$V = S_{осн} \cdot h = \frac{75\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{69} = \frac{75\sqrt{3 \cdot 69}}{2} = \frac{75\sqrt{207}}{2}$

Разложим подкоренное выражение на множители: $207 = 9 \cdot 23$.

$V = \frac{75\sqrt{9 \cdot 23}}{2} = \frac{75 \cdot 3\sqrt{23}}{2} = \frac{225\sqrt{23}}{2}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{225\sqrt{23}}{2}$ см$^3$.