Номер 18.21, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.21. Боковое ребро наклонного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 8 см, расстояние между прямыми $AA_1$ и $BB_1$ — $5\sqrt{3}$ см, между прямыми $AA_1$ и $DD_1$ — 4 см, а двугранный угол параллелепипеда при ребре $AA_1$ равен $60^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Объём наклонного параллелепипеда $V$ можно вычислить по формуле $V = S_{\text{перп}} \cdot L$, где $L$ — длина бокового ребра, а $S_{\text{перп}}$ — площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру.

Определение параметров перпендикулярного сечения

Рассмотрим сечение параллелепипеда плоскостью, перпендикулярной боковым рёбрам (например, ребру $AA_1$). Такое сечение называется перпендикулярным сечением. Пусть оно представляет собой параллелограмм $KLMN$. Стороны этого параллелограмма и угол между ними определяются из условий задачи.

Длина бокового ребра дана: $L = AA_1 = 8$ см.

Расстояние между параллельными боковыми рёбрами $AA_1$ и $BB_1$ равно длине стороны перпендикулярного сечения, соединяющей эти рёбра. Обозначим эту сторону $KL$. Таким образом, $KL = 5\sqrt{3}$ см.

Аналогично, расстояние между рёбрами $AA_1$ и $DD_1$ равно длине смежной стороны перпендикулярного сечения $KN$. Таким образом, $KN = 4$ см.

Двугранный угол при ребре $AA_1$ измеряется линейным углом, образованным лучами, перпендикулярными этому ребру и лежащими в гранях. В нашем случае это угол $\angle LKN$ в плоскости перпендикулярного сечения, так как $KL \perp AA_1$ и $KN \perp AA_1$. Таким образом, $\angle LKN = 60^\circ$.

Вычисление площади перпендикулярного сечения

Площадь перпендикулярного сечения, которое является параллелограммом $KLMN$, находится по формуле $S = a \cdot b \cdot \sin\gamma$, где $a$ и $b$ — смежные стороны, а $\gamma$ — угол между ними.

$S_{\text{перп}} = KL \cdot KN \cdot \sin(\angle LKN) = 5\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \sin(60^\circ)$.

Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, подставляем это значение в формулу:

$S_{\text{перп}} = 5\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20 \cdot \frac{(\sqrt{3})^2}{2} = 20 \cdot \frac{3}{2} = 30$ см$^2$.

Вычисление объёма параллелепипеда

Теперь, зная площадь перпендикулярного сечения и длину бокового ребра, находим объём параллелепипеда:

$V = S_{\text{перп}} \cdot L = 30 \text{ см}^2 \cdot 8 \text{ см} = 240 \text{ см}^3$.

Ответ: $240 \text{ см}^3$.