Номер 18.22, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.22. Основанием наклонной призмы $ABCA_1B_1C_1$ является равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. Вершина $A_1$ призмы равноудалена от вершин треугольника $ABC$, а угол между ребром $AA_1$ и плоскостью основания равен $\alpha$. Найдите объём призмы.

Объем призмы $V$ вычисляется по формуле: $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдем площадь основания.

Основанием призмы является равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. Площадь равностороннего треугольника находится по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

2. Найдем высоту призмы.

Пусть $O$ — проекция вершины $A_1$ на плоскость основания $ABC$. Тогда отрезок $A_1O$ является высотой призмы, то есть $H = A_1O$.

По условию, вершина $A_1$ равноудалена от вершин треугольника $ABC$, то есть $A_1A = A_1B = A_1C$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle A_1OA$, $\triangle A_1OB$ и $\triangle A_1OC$. Они имеют общий катет $A_1O$ и равные гипотенузы. Следовательно, эти треугольники равны, и их вторые катеты также равны: $OA = OB = OC$. Это означает, что точка $O$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Для равностороннего треугольника $ABC$ со стороной $a$ радиус описанной окружности $R$ равен:

$R = OA = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Угол между боковым ребром $AA_1$ и плоскостью основания — это угол между наклонной $AA_1$ и ее проекцией $AO$ на эту плоскость. По условию, этот угол равен $\alpha$, то есть $\angle A_1AO = \alpha$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle A_1OA$ высота $H = A_1O$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$. Выразим его через известный катет $AO$:

$H = A_1O = AO \cdot \tan(\angle A_1AO) = R \cdot \tan(\alpha) = \frac{a}{\sqrt{3}} \tan(\alpha)$

3. Найдем объем призмы.

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объема:

$V = S_{осн} \cdot H = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a \tan(\alpha)}{\sqrt{3}}$

Сократив $\sqrt{3}$, получаем окончательный результат:

$V = \frac{a^3 \tan(\alpha)}{4}$

Ответ: $V = \frac{a^3 \tan(\alpha)}{4}$.