Номер 18.29, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.29. Высота наклонной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $6\sqrt{2} \text{ см}$, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом $45^\circ$. Площадь грани $AA_1B_1B$ равна $36 \text{ см}^2$, грани $AA_1C_1C - 48 \text{ см}^2$, а двугранный угол призмы при ребре $AA_1$ равен $120^\circ$. Найдите объём призмы.

Для нахождения объема наклонной призмы воспользуемся формулой $V = S_{\perp} \cdot L$, где $S_{\perp}$ — площадь перпендикулярного сечения призмы (сечения, перпендикулярного боковым ребрам), а $L$ — длина бокового ребра. Решение задачи можно разбить на следующие шаги:

1. Нахождение длины бокового ребра призмы

Пусть $L$ — длина бокового ребра призмы (например, $AA_1$), $H$ — её высота, а $\alpha$ — угол наклона бокового ребра к плоскости основания. Эти величины связаны соотношением $H = L \cdot \sin \alpha$.

По условию задачи, высота $H = 6\sqrt{2}$ см, а угол наклона $\alpha = 45°$. Выразим и найдем длину бокового ребра:

$L = \frac{H}{\sin \alpha} = \frac{6\sqrt{2}}{\sin 45°}$

Зная, что $\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$L = \frac{6\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 6\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 12$ см.

2. Нахождение площади перпендикулярного сечения

Рассмотрим сечение призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру $AA_1$. Пусть это сечение — треугольник $KMN$, где точка $K$ лежит на ребре $AA_1$, точка $M$ — на ребре $BB_1$, и точка $N$ — на ребре $CC_1$. По построению, $KM \perp AA_1$ и $KN \perp AA_1$.

Площадь боковой грани (которая является параллелограммом) равна произведению длины бокового ребра на высоту, проведенную к этому ребру. В нашем случае, стороны перпендикулярного сечения $KM$ и $KN$ являются высотами для граней $AA_1B_1B$ и $AA_1C_1C$ соответственно, проведенными к ребру $AA_1$.

Для грани $AA_1B_1B$ с площадью $S_{AA_1B_1B} = 36$ см² имеем:

$S_{AA_1B_1B} = L \cdot KM \implies 36 = 12 \cdot KM \implies KM = 3$ см.

Для грани $AA_1C_1C$ с площадью $S_{AA_1C_1C} = 48$ см² имеем:

$S_{AA_1C_1C} = L \cdot KN \implies 48 = 12 \cdot KN \implies KN = 4$ см.

Двугранный угол призмы при ребре $AA_1$ — это угол между плоскостями граней $AA_1B_1B$ и $AA_1C_1C$. Этот угол равен углу между линиями $KM$ и $KN$ в перпендикулярном сечении. Таким образом, $\angle MKN = 120°$.

Теперь мы можем найти площадь перпендикулярного сечения $S_{\perp}$ (площадь треугольника $KMN$) по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$S_{\perp} = \frac{1}{2} \cdot KM \cdot KN \cdot \sin(\angle MKN) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \sin(120°)$

Используя значение $\sin(120°) = \sin(180° - 60°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$S_{\perp} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см².

3. Вычисление объема призмы

Объем призмы равен произведению площади её перпендикулярного сечения на длину бокового ребра:

$V = S_{\perp} \cdot L$

Подставим найденные значения:

$V = 3\sqrt{3} \cdot 12 = 36\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $36\sqrt{3}$ см³.