Номер 18.35, страница 176 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.35. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник, основание которого равно 10 см, а радиус описанной окружности — 13 см. Высота призмы равна 8 см. Найдите объём призмы.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы. По условию, высота призмы $H = 8$ см.

Основанием призмы является равнобедренный треугольник. Обозначим его основание как $a$, боковые стороны как $b$, высоту, проведённую к основанию, как $h_a$. Площадь этого треугольника (основания призмы) равна $S_{осн} = \frac{1}{2} a h_a$.

Из условия нам известно, что $a = 10$ см, а радиус описанной окружности $R = 13$ см.

Для нахождения площади основания необходимо найти высоту треугольника $h_a$. Воспользуемся связью между радиусом описанной окружности, основанием и высотой равнобедренного треугольника. Эта связь выражается формулой:

$R = \frac{h_a^2 + (a/2)^2}{2h_a}$

Подставим известные значения $a=10$ см и $R=13$ см в эту формулу, чтобы найти $h_a$:

$13 = \frac{h_a^2 + (10/2)^2}{2h_a}$

$13 = \frac{h_a^2 + 5^2}{2h_a}$

$13 = \frac{h_a^2 + 25}{2h_a}$

Умножим обе части уравнения на $2h_a$:

$26h_a = h_a^2 + 25$

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $h_a$:

$h_a^2 - 26h_a + 25 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 26, а их произведение равно 25. Следовательно, корнями являются $h_{a1} = 1$ см и $h_{a2} = 25$ см.

Это означает, что существует два равнобедренных треугольника, удовлетворяющих заданным условиям (один тупоугольный, другой остроугольный). Рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1. Высота треугольника в основании $h_a = 25$ см.

Тогда площадь основания призмы равна:

$S_{осн1} = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 25 = 125$ см$^2$.

Объём призмы в этом случае составит:

$V_1 = S_{осн1} \cdot H = 125 \cdot 8 = 1000$ см$^3$.

Случай 2. Высота треугольника в основании $h_a = 1$ см.

Тогда площадь основания призмы равна:

$S_{осн2} = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 1 = 5$ см$^2$.

Объём призмы в этом случае составит:

$V_2 = S_{осн2} \cdot H = 5 \cdot 8 = 40$ см$^3$.

Поскольку в условии задачи нет уточнений, позволяющих исключить один из вариантов, задача имеет два решения.

Ответ: 1000 см$^3$ или 40 см$^3$.