Номер 18.39, страница 176 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.39. Дана треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Площадь треугольника $AB_1C$ равна $S$, а расстояние от точки $A_1$ до плоскости $AB_1C$ равно $h$.

Найдите объём призмы.

Рассмотрим пирамиду (тетраэдр) $A_1AB_1C$. По условию, площадь ее основания $\triangle AB_1C$ равна $S$, а высота, опущенная из вершины $A_1$ на это основание, равна $h$. Объем пирамиды вычисляется по формуле:

$V_{пирамиды} = \frac{1}{3} \cdot S_{основания} \cdot высота$

Следовательно, объем пирамиды $A_1AB_1C$ равен:

$V_{A_1AB_1C} = \frac{1}{3} S h$

Теперь найдем связь между объемом этой пирамиды и объемом всей призмы $V_{призмы}$. Для этого воспользуемся векторным методом. Пусть начало координат находится в точке $A$. Введем векторы: $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AC} = \vec{b}$ и $\vec{AA_1} = \vec{c}$.

Объем призмы $ABCA_1B_1C_1$ равен половине объема параллелепипеда, построенного на векторах $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$. Объем параллелепипеда равен модулю смешанного произведения этих векторов. Таким образом, объем призмы:

$V_{призмы} = \frac{1}{2} |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$

Объем пирамиды (тетраэдра) $A_1AB_1C$ равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов, исходящих из одной ее вершины, например, из вершины $A$. Найдем эти векторы:

• $\vec{AA_1} = \vec{c}$
• $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{AB} + \vec{AA_1} = \vec{a} + \vec{c}$
• $\vec{AC} = \vec{b}$

Теперь вычислим объем пирамиды $A_1AB_1C$ (или, что то же самое, $A A_1 B_1 C$):

$V_{A_1AB_1C} = \frac{1}{6} |(\vec{AA_1} \times \vec{AB_1}) \cdot \vec{AC}| = \frac{1}{6} |(\vec{c} \times (\vec{a} + \vec{c})) \cdot \vec{b}|$

Используя свойства векторного произведения (дистрибутивность и $\vec{c} \times \vec{c} = 0$), получим:

$\vec{c} \times (\vec{a} + \vec{c}) = (\vec{c} \times \vec{a}) + (\vec{c} \times \vec{c}) = \vec{c} \times \vec{a}$

Подставим это в формулу объема пирамиды:

$V_{A_1AB_1C} = \frac{1}{6} |(\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{b}|$

Используя свойство смешанного произведения о циклической перестановке векторов $((\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{b} = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c})$, получаем:

$V_{A_1AB_1C} = \frac{1}{6} |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$

Сравнивая выражения для объемов призмы и пирамиды, видим, что:

$V_{A_1AB_1C} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| \right) = \frac{1}{3} V_{призмы}$

Теперь у нас есть два выражения для объема пирамиды $A_1AB_1C$:

$\frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} V_{призмы}$

Отсюда находим объем призмы:

$V_{призмы} = S h$

Ответ: $Sh$