Номер 18.41, страница 176 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.41. В треугольнике $ABC$ $AB = BC = 7,5$ см, $AC = 12$ см. Найдите расстояние от вершины $B$ до ортоцентра треугольника $ABC$.

Дан треугольник $ABC$, в котором $AB = BC = 7,5$ см и $AC = 12$ см. Треугольник является равнобедренным. Ортоцентр – это точка пересечения высот треугольника. Обозначим ортоцентр буквой $H$. Требуется найти расстояние от вершины $B$ до ортоцентра $H$, то есть длину отрезка $BH$.

1. Проведем высоту $BE$ из вершины $B$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, точка $E$ – середина отрезка $AC$.$AE = EC = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABE$ (угол $E$ прямой). По теореме Пифагора найдем длину высоты $BE$:$BE = \sqrt{AB^2 - AE^2} = \sqrt{7,5^2 - 6^2} = \sqrt{56,25 - 36} = \sqrt{20,25} = 4,5$ см.

3. Определим тип треугольника $ABC$. Сравним квадрат большей стороны $AC$ с суммой квадратов двух других сторон:$AC^2 = 12^2 = 144$.$AB^2 + BC^2 = 7,5^2 + 7,5^2 = 56,25 + 56,25 = 112,5$. Так как $AC^2 > AB^2 + BC^2$ ($144 > 112,5$), угол $B$, лежащий против стороны $AC$, является тупым.

4. В тупоугольном треугольнике ортоцентр лежит вне треугольника. В нашем случае, так как угол $B$ тупой, ортоцентр $H$ будет лежать на продолжении высоты $BE$ за вершину $B$. Таким образом, точка $B$ будет находиться между точками $E$ и $H$.

5. Для нахождения положения ортоцентра $H$ проведем еще одну высоту, например, высоту $AD$ из вершины $A$ на прямую, содержащую сторону $BC$. Так как угол $ABC$ тупой, основание высоты $D$ будет лежать на продолжении стороны $CB$ за вершину $B$. Ортоцентр $H$ является точкой пересечения прямых $BE$ и $AD$.

6. Рассмотрим прямоугольный треугольник $HBD$. В нем $\angle HDB = 90^\circ$. Искомое расстояние $BH$ является гипотенузой в этом треугольнике, или катетом в другом. Давайте найдем катет $BD$ и один из углов. Из треугольника $HBD$ имеем: $BH = \frac{BD}{\cos(\angle HBD)}$.

7. Найдем длину отрезка $BD$. Рассмотрим треугольник $ABD$, который является прямоугольным. Угол $\angle ABD$ является смежным с углом $\angle ABC$, поэтому $\angle ABD = 180^\circ - \angle ABC$. Найдем косинус угла $\angle ABC$ по теореме косинусов для треугольника $ABC$:$\cos(\angle ABC) = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{7,5^2 + 7,5^2 - 12^2}{2 \cdot 7,5 \cdot 7,5} = \frac{112,5 - 144}{112,5} = \frac{-31,5}{112,5} = -\frac{315}{1125} = -\frac{7}{25}$. Теперь найдем косинус угла $\angle ABD$:$\cos(\angle ABD) = \cos(180^\circ - \angle ABC) = -\cos(\angle ABC) = -(-\frac{7}{25}) = \frac{7}{25}$. В прямоугольном треугольнике $ABD$ катет $BD$ равен:$BD = AB \cdot \cos(\angle ABD) = 7,5 \cdot \frac{7}{25} = \frac{15}{2} \cdot \frac{7}{25} = \frac{3 \cdot 7}{2 \cdot 5} = \frac{21}{10} = 2,1$ см.

8. Теперь найдем косинус угла $\angle HBD$. Угол $\angle HBD$ совпадает с углом $\angle EBC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $EBC$:$\cos(\angle EBC) = \frac{BE}{BC} = \frac{4,5}{7,5} = \frac{45}{75} = \frac{3}{5}$.

9. Наконец, найдем искомое расстояние $BH$ из прямоугольного треугольника $HBD$:$BH = \frac{BD}{\cos(\angle HBD)} = \frac{BD}{\cos(\angle EBC)} = \frac{2,1}{3/5} = 2,1 \cdot \frac{5}{3} = 0,7 \cdot 5 = 3,5$ см.

Ответ: 3,5 см.