Номер 18.34, страница 176 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 18. Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 18.34, страница 176.

Условие.

18.34. Основанием призмы является равнобокая трапеция, основания которой равны $12 \text{ см}$ и $16 \text{ см}$, а радиус описанной окружности — $10 \text{ см}$. Боковое ребро призмы равно $20 \text{ см}$ и образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите объём призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Объём призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдём высоту призмы H.

Высота призмы $H$ связана с длиной бокового ребра $l = 20$ см и углом его наклона к плоскости основания $\alpha = 30^\circ$ следующим соотношением:

$$ H = l \cdot \sin\alpha = 20 \cdot \sin 30^\circ = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10 \text{ см} $$

2. Найдём площадь основания $S_{осн}$.

Основанием является равнобокая трапеция с основаниями $a = 16$ см и $b = 12$ см. Её площадь вычисляется по формуле $S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $h$ — высота трапеции. Для нахождения высоты $h$ воспользуемся тем, что вокруг трапеции описана окружность радиусом $R = 10$ см.

Рассмотрим трапецию. Расстояние от центра описанной окружности до её оснований (которые являются хордами этой окружности) можно найти по теореме Пифагора. Расстояние $d_1$ от центра до большего основания $a=16$ см равно:

$$ d_1 = \sqrt{R^2 - (a/2)^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 \text{ см} $$

Расстояние $d_2$ от центра до меньшего основания $b=12$ см равно:

$$ d_2 = \sqrt{R^2 - (b/2)^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ см} $$

Высота трапеции $h$ зависит от взаимного расположения оснований и центра окружности. Возможны два случая:

Случай А: Центр окружности лежит между основаниями трапеции.

В этом случае высота трапеции равна сумме расстояний от центра до оснований:

$$ h_1 = d_1 + d_2 = 6 + 8 = 14 \text{ см} $$

Площадь основания в этом случае:

$$ S_{осн1} = \frac{a+b}{2} \cdot h_1 = \frac{16+12}{2} \cdot 14 = 14 \cdot 14 = 196 \text{ см}^2 $$

Случай Б: Оба основания лежат по одну сторону от центра окружности.

В этом случае высота трапеции равна разности расстояний от центра до оснований:

$$ h_2 = d_2 - d_1 = 8 - 6 = 2 \text{ см} $$

Площадь основания в этом случае:

$$ S_{осн2} = \frac{a+b}{2} \cdot h_2 = \frac{16+12}{2} \cdot 2 = 14 \cdot 2 = 28 \text{ см}^2 $$

3. Вычислим объём призмы V.

Поскольку условие задачи допускает обе конфигурации трапеции, существует два возможных значения объёма призмы.

Для случая А:

$$ V_1 = S_{осн1} \cdot H = 196 \cdot 10 = 1960 \text{ см}^3 $$

Для случая Б:

$$ V_2 = S_{осн2} \cdot H = 28 \cdot 10 = 280 \text{ см}^3 $$

Ответ: задача имеет два решения: $1960 \text{ см}^3$ или $280 \text{ см}^3$.