Номер 18.27, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.27. Основанием прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является ромб $ABCD$, диагонали которого равны 8 см и $4\sqrt{5}$ см. Угол между плоскостью, проходящей через прямые $AD$ и $B_1C_1$, и плоскостью основания призмы равен $45^\circ$. Найдите объём призмы.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Сначала найдём площадь основания призмы. Основанием является ромб $ABCD$ с диагоналями $d_1 = 8$ см и $d_2 = 4\sqrt{5}$ см. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

$S_{осн} = S_{ABCD} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4\sqrt{5} = 16\sqrt{5}$ см$^2$.

Далее найдём высоту призмы $H$. Высота прямой призмы равна её боковому ребру, например, $H = BB_1$. Угол между плоскостью, проходящей через прямые $AD$ и $B_1C_1$ (это плоскость сечения $AB_1C_1D$), и плоскостью основания $(ABCD)$ равен $45^\circ$. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $AD$.

Для построения линейного угла двугранного угла проведём высоту ромба $BK$ к стороне $AD$. Таким образом, $BK \perp AD$. Так как призма прямая, её боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит $BB_1 \perp BK$. Прямая $BK$ является проекцией наклонной $B_1K$ на плоскость основания. По теореме о трёх перпендикулярах, так как проекция $BK \perp AD$, то и сама наклонная $B_1K \perp AD$. Следовательно, угол $\angle B_1KB$ является линейным углом данного двугранного угла, и по условию $\angle B_1KB = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle B_1BK$ (угол $\angle B$ прямой, так как $BB_1 \perp$ плоскости основания). Чтобы найти высоту призмы $H=BB_1$, нам нужно найти длину катета $BK$, который является высотой ромба. Для этого сначала вычислим сторону ромба $a$. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Из прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей ($\frac{d_1}{2}=4$ см, $\frac{d_2}{2}=2\sqrt{5}$ см) и стороной ромба, по теореме Пифагора находим сторону $a$:

$a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{5})^2} = \sqrt{16 + 20} = \sqrt{36} = 6$ см.

Площадь ромба также можно найти по формуле $S = a \cdot h$, где $h$ — высота ромба. Отсюда высота ромба $BK = h = \frac{S_{ABCD}}{a} = \frac{16\sqrt{5}}{6} = \frac{8\sqrt{5}}{3}$ см.

В прямоугольном треугольнике $\triangle B_1BK$ с острым углом $45^\circ$ катеты равны, поэтому высота призмы $H = BB_1 = BK = \frac{8\sqrt{5}}{3}$ см. Это также следует из того, что $\tan(45^\circ) = \frac{H}{BK}$, а так как $\tan(45^\circ)=1$, то $H = BK$.

Наконец, вычислим объём призмы:

$V = S_{осн} \cdot H = 16\sqrt{5} \cdot \frac{8\sqrt{5}}{3} = \frac{16 \cdot 8 \cdot (\sqrt{5})^2}{3} = \frac{128 \cdot 5}{3} = \frac{640}{3}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{640}{3}$ см$^3$.