Номер 18.26, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.26. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 30 см и 40 см. Через диагональ основания проведена плоскость, параллельная диагонали параллелепипеда и образующая с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Решение:

Пусть дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с основанием $ABCD$. Стороны основания равны $AD = 30$ см и $AB = 40$ см. Высота параллелепипеда равна $h = AA_1$.

Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$. Площадь основания $S_{осн} = AD \cdot AB = 30 \cdot 40 = 1200$ см². Для нахождения объема необходимо найти высоту $h$.

По условию, через диагональ основания проведена плоскость $\alpha$. Выберем диагональ основания $BD$. Плоскость $\alpha$ проходит через $BD$.

Также плоскость $\alpha$ параллельна диагонали параллелепипеда. Диагональ параллелепипеда не должна пересекать диагональ основания $BD$ и не лежать с ней в одной плоскости (иначе плоскость сечения была бы диагональной плоскостью параллелепипеда). Выберем диагональ $AC_1$.

Построим сечение. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей основания $AC$ и $BD$. $O$ является серединой $AC$. Пусть $M$ — середина ребра $C_1C$. Тогда отрезок $OM$ является средней линией треугольника $ACC_1$. Следовательно, $OM \parallel AC_1$.

Поскольку плоскость $\alpha$ проходит через прямую $BD$ и параллельна прямой $AC_1$, а $OM \parallel AC_1$, то плоскость $\alpha$ содержит прямую $OM$. Таким образом, искомая плоскость сечения — это плоскость, проходящая через точки $B, D, M$. Сечением является треугольник $BDM$.

Угол между плоскостью сечения $BDM$ и плоскостью основания $ABCD$ равен $30^\circ$. Этот угол является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями. Линия пересечения этих плоскостей — прямая $BD$.

Для нахождения линейного угла построим плоскость, перпендикулярную ребру двугранного угла $BD$. Проведем в плоскости основания из точки $C$ перпендикуляр $CH$ к диагонали $BD$. Так как $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания, то $CC_1 \perp CH$. Треугольник $MCH$ — прямоугольный ($\angle MCH = 90^\circ$).

По теореме о трех перпендикулярах, так как $CH$ — проекция наклонной $MH$ на плоскость основания и $CH \perp BD$, то и наклонная $MH \perp BD$.

Следовательно, угол $\angle MHC$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. По условию, $\angle MHC = 30^\circ$.

Найдем длину $CH$. В прямоугольном треугольнике $BCD$ ($CD=AB=40$ см, $BC=AD=30$ см) гипотенуза $BD$ по теореме Пифагора равна:
$BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50$ см.
Высота $CH$, проведенная к гипотенузе $BD$, может быть найдена через площадь треугольника $BCD$:
$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot CH$
$30 \cdot 40 = 50 \cdot CH$
$CH = \frac{1200}{50} = 24$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $MCH$. Катет $MC$ равен половине высоты параллелепипеда, так как $M$ — середина $C_1C$: $MC = \frac{h}{2}$. Катет $CH = 24$ см. Угол $\angle MHC = 30^\circ$.
Из определения тангенса угла:
$\tan(\angle MHC) = \frac{MC}{CH}$
$\tan(30^\circ) = \frac{h/2}{24} = \frac{h}{48}$
Так как $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{48}$
$h = \frac{48}{\sqrt{3}} = \frac{48\sqrt{3}}{3} = 16\sqrt{3}$ см.

Найдем объем параллелепипеда:
$V = S_{осн} \cdot h = 1200 \cdot 16\sqrt{3} = 19200\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $19200\sqrt{3}$ см³.